题目:

如图,已知直线AB经过点C(1,2),与x轴、y轴分别交于A点、B点,CD⊥x轴于D,CE⊥y轴于E,CF与x轴交于F.
(1)当直线AB绕点C旋转到使△ACD≌△CBE时,求直线A8的解析式;
(2)若S
四边形ODCE=S
△CFD,当直线AB绕点C旋转到使FC⊥AB时,求BC的长;
(3)在(2)成立的情况下,将△FOG沿y轴对折得到△F′O′G′(F、0、G的对应点分别为F′、O′、G′),把△F′O′G′沿x轴正方向平移到使得点F′与点A重合,设在平移过程中△F′O′G′与四边形CDOE重叠的面积为y,OO′的长为x,求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围.
答案
解:(1)∵CD⊥x轴,CE⊥y轴.x轴⊥y轴,
∴∠CDO=90°,∠CE0=90
0,∠EOD=90°.
∴四边形CDOE是矩形.
∴OD=EC,OE=DC.
∵C(1,2),
∴D(1,0),
E(O,2).
∴OD=1,OE=2.
∵△ACD≌△CBE.
∴EB=DC=0E=2.
∴OB=0E+EB=4.
∴B(O,4).
设直线AB的解析式为y=-2x+4.
因为直线AB经过点C(1,2),
所以2=k+4.k=-2
则直线AB的解析式为y=-2x+4;
(2)∵S
△CFD=
FD·CD,S
四边形ODCE=CD·CE,且S
四边形ODCE=S
△CFD,
∴
×2×FD=2×1,FD=2.
∴FO=FD-OD=1.
∵∠FGO=∠CGE,∠FOG=∠CEG=90°,FO=CE.
∴△OGF≌△EGC.
∴FG=CG,OG=EG=1.
在△FOG中,∠FOG=90°,FO=OG=1.
∴tan∠GFO=
=1.所以∠GFO=45°.
∴FG=
=
,
∵FC⊥AB,
∴∠BCF=90°,从而∠CBG=45°.
∴BC=GC.
∴BC=FG=
;
(3)因为∠CFA=45°,∠ACF=90°,所以∠CAF=45°,所以CD⊥AD,所以AD=FD=2

∵△F′O′G′与△FOG关于y轴对称,
∴F′O′=FO=I,
∴O′G′=OG=1.∠G′F′O′=∠CFD=45°
(I)当△G′O′F′沿x轴正方向移动到使得点O′与点D重合时.
0<x≤l,O′D=0D-0O′=1-x,DF
′=O′F′-O′D=1-(1-x)=x
∵∠HDF
′=90
0,∠HDF
′=∠G′F′O′=45
0.
∴∠DHF
′=45
0.
∴HD=DF
′.
则y=
=
=-
x
2+
(0<x≤1),
(II)当△O
′G
′F
′从点O
′与点D重合的位置继续沿x轴正方向移动到使得点F
′与点A重合时,
l<x≤2,y=0
因此y与x之间的函数关系式为:y=
.
解:(1)∵CD⊥x轴,CE⊥y轴.x轴⊥y轴,
∴∠CDO=90°,∠CE0=90
0,∠EOD=90°.
∴四边形CDOE是矩形.
∴OD=EC,OE=DC.
∵C(1,2),
∴D(1,0),
E(O,2).
∴OD=1,OE=2.
∵△ACD≌△CBE.
∴EB=DC=0E=2.
∴OB=0E+EB=4.
∴B(O,4).
设直线AB的解析式为y=-2x+4.
因为直线AB经过点C(1,2),
所以2=k+4.k=-2
则直线AB的解析式为y=-2x+4;
(2)∵S
△CFD=
FD·CD,S
四边形ODCE=CD·CE,且S
四边形ODCE=S
△CFD,
∴
×2×FD=2×1,FD=2.
∴FO=FD-OD=1.
∵∠FGO=∠CGE,∠FOG=∠CEG=90°,FO=CE.
∴△OGF≌△EGC.
∴FG=CG,OG=EG=1.
在△FOG中,∠FOG=90°,FO=OG=1.
∴tan∠GFO=
=1.所以∠GFO=45°.
∴FG=
=
,
∵FC⊥AB,
∴∠BCF=90°,从而∠CBG=45°.
∴BC=GC.
∴BC=FG=
;
(3)因为∠CFA=45°,∠ACF=90°,所以∠CAF=45°,所以CD⊥AD,所以AD=FD=2

∵△F′O′G′与△FOG关于y轴对称,
∴F′O′=FO=I,
∴O′G′=OG=1.∠G′F′O′=∠CFD=45°
(I)当△G′O′F′沿x轴正方向移动到使得点O′与点D重合时.
0<x≤l,O′D=0D-0O′=1-x,DF
′=O′F′-O′D=1-(1-x)=x
∵∠HDF
′=90
0,∠HDF
′=∠G′F′O′=45
0.
∴∠DHF
′=45
0.
∴HD=DF
′.
则y=
=
=-
x
2+
(0<x≤1),
(II)当△O
′G
′F
′从点O
′与点D重合的位置继续沿x轴正方向移动到使得点F
′与点A重合时,
l<x≤2,y=0
因此y与x之间的函数关系式为:y=
.