试题

如图①，已知直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．
（1）求点A、C的坐标；
（2）将△ABC对折，使得点A的与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）；
（4）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）A（2，0）；C（0，4）（2分）

（2）由折叠知：CD=AD．设AD=x，则CD=x，BD=4-x，
根据题意得：（4-x）²+2²=x²解得：x=

5

2

此时，AD=

5

2

，D(2，

5

2

)（2分）
设直线CD为y=kx+4，把D(2，

5

2

)代入得

5

2

=2k+4（1分）
解得：k=-

3

4

∴设直线CD解析式为y=-

3

4

x+4（1分）

（3）①当点P与点O重合时，△APC≌△CBA，此时P（0，0）
②当点P在第一象限时，如图，
由△APC≌△CBA得∠ACP=∠CAB，
则点P在直线CD上．过P作PQ⊥AD于点Q，
在Rt△ADP中，
AD=

5

2

，PD=BD=4-

5

2

=

3

2

，AP=BC=2
由AD×PQ=DP×AP得：

5

2

PQ=3
∴PQ=

6

5

∴xP=2+

6

5

=

16

5

，把x=

16

5

代入y=-

3

4

x+4得y=

8

5

此时P(

16

5

，

8

5

)
（也可通过Rt△APQ勾股定理求AQ长得到点P的纵坐标）
③当点P在第二象限时，如图
同理可求得：CQ=

8

5

∴OQ=4-

8

5

=

12

5

此时P(-

6

5

，

12

5

)
综合得，满足条件的点P有三个，
分别为：P₁（0，0）；P2(

16

5

，

8

5

)；P3(-

6

5

，

12

5

)．
（写对第一个（2分），二个（3分），3个且不多写（4分），写对4个且多写得（3分）．）
解：（1）A（2，0）；C（0，4）（2分）

（2）由折叠知：CD=AD．设AD=x，则CD=x，BD=4-x，
根据题意得：（4-x）²+2²=x²解得：x=

5

2

此时，AD=

5

2

，D(2，

5

2

)（2分）
设直线CD为y=kx+4，把D(2，

5

2

)代入得

5

2

=2k+4（1分）
解得：k=-

3

4

∴设直线CD解析式为y=-

3

4

x+4（1分）

（3）①当点P与点O重合时，△APC≌△CBA，此时P（0，0）
②当点P在第一象限时，如图，
由△APC≌△CBA得∠ACP=∠CAB，
则点P在直线CD上．过P作PQ⊥AD于点Q，
在Rt△ADP中，
AD=

5

2

，PD=BD=4-

5

2

=

3

2

，AP=BC=2
由AD×PQ=DP×AP得：

5

2

PQ=3
∴PQ=

6

5

∴xP=2+

6

5

=

16

5

，把x=

16

5

代入y=-

3

4

x+4得y=

8

5

此时P(

16

5

，

8

5

)
（也可通过Rt△APQ勾股定理求AQ长得到点P的纵坐标）
③当点P在第二象限时，如图
同理可求得：CQ=

8

5

∴OQ=4-

8

5

=

12

5

此时P(-

6

5

，

12

5

)
综合得，满足条件的点P有三个，
分别为：P₁（0，0）；P2(

16

5

，

8

5

)；P3(-

6

5

，

12

5

)．
（写对第一个（2分），二个（3分），3个且不多写（4分），写对4个且多写得（3分）．）