试题

如图，在平面直角坐标系中直线AC交x轴于点A，交y轴于点C，过点C作直线CB⊥AC交x轴于点B，且AB=25，AO：CO=3：4，点P在线段OC上，且PO、PC的长是关于x的方程x²-12x+32=0的两根（PO＜PC）
（1）求AC、BC的长；
（2）若M为线段BC的中点，求直线PM的解析式；
（3）在平面内是否存在点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在请说明理由．

解：（1）解方程x²-12x+32=0，得x₁=4，x₂=8，
∵PO＜PC，
∴PC=8，PO=4，OC=PC+PO=12，
∵AO：CO=3：4，
∴AO=

3×12

4

=9，
在Rt△ABC中，AC=

OC2OA2

=15，
∵CB⊥AC，
∴在Rt△ABC中，BC=

AB2-AC2

=20；

（2）取OB的中点N，连接MN，
∵M是BC的中点，OB=16，
∴MN=

1

2

OC，MN∥OC，
∴M（8，6），P（0，4），
设直线PM为：y=kx+b，则

8k+b=6 b=4

，
解得：k=

1

4

，b=4
∴直线PM：y=

1

4

x+4；

（3）存在．Q点的坐标分别为：
（-9，-8），（-9，8），（9，16）．
解：（1）解方程x²-12x+32=0，得x₁=4，x₂=8，
∵PO＜PC，
∴PC=8，PO=4，OC=PC+PO=12，
∵AO：CO=3：4，
∴AO=

3×12

4

=9，
在Rt△ABC中，AC=

OC2OA2

=15，
∵CB⊥AC，
∴在Rt△ABC中，BC=

AB2-AC2

=20；

（2）取OB的中点N，连接MN，
∵M是BC的中点，OB=16，
∴MN=

1

2

OC，MN∥OC，
∴M（8，6），P（0，4），
设直线PM为：y=kx+b，则

8k+b=6 b=4

，
解得：k=

1

4

，b=4
∴直线PM：y=

1

4

x+4；

（3）存在．Q点的坐标分别为：
（-9，-8），（-9，8），（9，16）．