试题

（2008·房山区一模）如图，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA=OB=1，经过原点O的直线l交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线x=1相交于点P，现将直线L绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但C点必须在第一象限内，并记AC的长为t，分析此图后，对下列问题作出探究：
（1）当△AOC和△BCP全等时，求出t的值；
（2）通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系并证明你得到的结论；
（3）①设点P的坐标为（1，b），试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范围．
②求出当△PBC为等腰三角形时点P的坐标．

解：（1）△AOC和△BCP全等，则AO=BC=1，
又AB=

2

，
所以t=AB-BC=

2

-1；

（2）OC=CP．
证明：过点C作x轴的平行线，交OA与直线BP于点T、H．
∵PC⊥OC，
∴∠OCP=90°，
∵OA=OB=1，
∴∠OBA=45°，
∵TH∥OB，
∴∠BCH=45°，又∠CHB=90°，
∴△CHB为等腰直角三角形，
∴CH=BH，
∵∠AOB=∠OBH=∠BHT=90°，
∴四边形OBHT为矩形，∴OT=BH，
∴OT=CH，
∵∠TCO+∠PCH=90°，
∠CPH+∠PCH=90°，
∴∠TCO=∠CPH，
∵HB⊥x轴，TH∥OB，
∴∠CTO=∠THB=90°，TO=HC，∠TCO=∠CPH，
∴△OTC≌△CHP，
∴OC=CP；

（3）①∵△OTC≌△CHP，
∴CT=PH，
∴PH=CT=AT=AC·cos45°=

2

2

t，
∴BH=OT=OA-AT=1-

2

2

t，
∴BP=BH-PH=1-

2

t，
∴b=1-

2

t；（0＜t＜

2

）
②t=0时，△PBC是等腰直角三角形，但点C与点A重合，不在第一象限，所以不符合，
PB=BC，则

2

-t=|1-

2

t|，
解得t=1或t=-1（舍去），
∴当t=1时，△PBC为等腰三角形，
即P点坐标为：P（1，1-

2

）．
解：（1）△AOC和△BCP全等，则AO=BC=1，
又AB=

2

，
所以t=AB-BC=

2

-1；

（2）OC=CP．
证明：过点C作x轴的平行线，交OA与直线BP于点T、H．
∵PC⊥OC，
∴∠OCP=90°，
∵OA=OB=1，
∴∠OBA=45°，
∵TH∥OB，
∴∠BCH=45°，又∠CHB=90°，
∴△CHB为等腰直角三角形，
∴CH=BH，
∵∠AOB=∠OBH=∠BHT=90°，
∴四边形OBHT为矩形，∴OT=BH，
∴OT=CH，
∵∠TCO+∠PCH=90°，
∠CPH+∠PCH=90°，
∴∠TCO=∠CPH，
∵HB⊥x轴，TH∥OB，
∴∠CTO=∠THB=90°，TO=HC，∠TCO=∠CPH，
∴△OTC≌△CHP，
∴OC=CP；

（3）①∵△OTC≌△CHP，
∴CT=PH，
∴PH=CT=AT=AC·cos45°=

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t，
∴BH=OT=OA-AT=1-

2

2

t，
∴BP=BH-PH=1-

2

t，
∴b=1-

2

t；（0＜t＜

2

）
②t=0时，△PBC是等腰直角三角形，但点C与点A重合，不在第一象限，所以不符合，
PB=BC，则

2

-t=|1-

2

t|，
解得t=1或t=-1（舍去），
∴当t=1时，△PBC为等腰三角形，
即P点坐标为：P（1，1-

2

）．