试题

如图1，已知直线：y=

3

3

x+

3

与直角坐标系xOy的x轴交于点A，与y轴交于点B，点M为x轴正半轴上一点，以点M为圆心的⊙M与直线AB相切于B点，交x轴于C、D两点，与y轴交于另一点E．
（1）求圆心M的坐标；
（2）如图2，连接BM延长交⊙M于F，点N为

CF

上任一点，连DN交BF于Q，连FN并延长交x轴于点P．则CP与MQ有何数量关系？证明你的结论；
（3）如图3，连接BM延长交⊙M于F，点N为

CF

上一动点，NH⊥x轴于H，NG⊥BF于G，连接GH，当N点运动时，下列两个结论：①NG+NH为定值；②GH的长度不变；其中只有一个是正确的，请你选择正确的结论加以证明，并求出其值？

解：（1）连接BM，
∵y=

3

3

x+

3

与直角坐标系xOy的x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A点横坐标为x：0=

3

3

x+

3

，纵坐标为0，
∴x=-3，A（-3，0），
B点坐标为：（0，

3

），
∴BO=

3

，AO=3，
∵以点M为圆心的⊙M与直线AB相切于B点，
∴AB⊥BM，
∵BO⊥AM．
∴BO²=AO×MO，
3=3MO，
∴MO=1，
∴圆心M的坐标为（1，0）；

（2）MQ=PC．
证明：∵BO=

3

，MO=1，
∴tan∠BMO=

3

，
∴∠BMO=60°，
∵BM=DM，
∴△BDM是等边三角形，
∴BD=BM=DM，∠DBQ=60°，
∴∠FMP=∠BMD=60°，
∴∠DBQ=∠FMP=60°，
∵∠BDN=∠BFN，
∴△BDQ≌△MFP，
∴PM=BQ，
∵BM=CM，
∴BQ-BM=PM-MC，
即：MQ=PC；

（3）GH的长度不变；
证明：延长NH到⊙一点Q，延长NG到圆上一点W，作MT⊥WQ，连接WQ，MQ，MW，MN，
∵NH⊥x轴于H，NG⊥BF于G，
∴QC=CN，GN=WQ，

QC

=

CN

，

WF

=

FN

，（垂径定理的推论）
∴∠QMC=∠CMN，∠NMF=∠FMW，
∵由（2）得出∠DMB=∠FMC=60°，
∴∠WMQ=120°，WM=MQ，
∴QT=WT，∠TMQ=60°，
∵DM=MQ=2，
∴sin60°=

QT

2

，
∴QT=

3

，
∴WQ=2

3

，
∴点N为

CF

上一动点，到什么位置△WMQ形状不变，
∴QW=2

3

长度不变，
∵H为QN的中点，G为WN的中点，
∴GH是△WNQ的中位线，
∴HG=

1

2

WQ=

3

，
∴GH的长度不变．
解：（1）连接BM，
∵y=

3

3

x+

3

与直角坐标系xOy的x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A点横坐标为x：0=

3

3

x+

3

，纵坐标为0，
∴x=-3，A（-3，0），
B点坐标为：（0，

3

），
∴BO=

3

，AO=3，
∵以点M为圆心的⊙M与直线AB相切于B点，
∴AB⊥BM，
∵BO⊥AM．
∴BO²=AO×MO，
3=3MO，
∴MO=1，
∴圆心M的坐标为（1，0）；

（2）MQ=PC．
证明：∵BO=

3

，MO=1，
∴tan∠BMO=

3

，
∴∠BMO=60°，
∵BM=DM，
∴△BDM是等边三角形，
∴BD=BM=DM，∠DBQ=60°，
∴∠FMP=∠BMD=60°，
∴∠DBQ=∠FMP=60°，
∵∠BDN=∠BFN，
∴△BDQ≌△MFP，
∴PM=BQ，
∵BM=CM，
∴BQ-BM=PM-MC，
即：MQ=PC；

（3）GH的长度不变；
证明：延长NH到⊙一点Q，延长NG到圆上一点W，作MT⊥WQ，连接WQ，MQ，MW，MN，
∵NH⊥x轴于H，NG⊥BF于G，
∴QC=CN，GN=WQ，

QC

=

CN

，

WF

=

FN

，（垂径定理的推论）
∴∠QMC=∠CMN，∠NMF=∠FMW，
∵由（2）得出∠DMB=∠FMC=60°，
∴∠WMQ=120°，WM=MQ，
∴QT=WT，∠TMQ=60°，
∵DM=MQ=2，
∴sin60°=

QT

2

，
∴QT=

3

，
∴WQ=2

3

，
∴点N为

CF

上一动点，到什么位置△WMQ形状不变，
∴QW=2

3

长度不变，
∵H为QN的中点，G为WN的中点，
∴GH是△WNQ的中位线，
∴HG=

1

2

WQ=

3

，
∴GH的长度不变．