试题

在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，直线y=

1

2

x+6交x轴于点A，交y轴于点B，过点B作AB的垂线交x轴于点C，∠ABC的平分线交AC于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）若P从点A出发以每秒

5

个单位长度的速度向终点B运动，过点P作x轴的平行线交BD于点E，交BC于点F，设线段EF的长为y，点P运动的时间为t（t＞0）秒，求y与t之间的函数关系式，不需写出自变量t的取值范围．
（3）在（2）的条件下，设同时经过B，C，D三点的圆交AB于B，G两点，当t为何值时有EF=

5

3

PG？

解：（1）∵直线y=

1

2

x+6交x轴于点A，交y轴于点B，
∴当x=0时，y=6，当y=0时，x=-12，
∴A（-12，0），B（0，6），
∴OA=12，OB=6，
∵BC⊥AB，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=45°，
过点D作DH⊥AB于点H，
则∠HDB=180°-∠DHB-∠ABD=45°，
∴∠ABD=∠HDB，
∴HD=HB，
在Rt△AHD和Rt△ABO内，tan∠BAO=

DH

HA

=

OB

AO

=

6

12

=

1

2

，
∴AH=2HD=2BH，
在Rt△ABO中，AB=

OA2+OB2

=6

5

，
∴AH+BH=6

5

，
∴AH=4

5

，BH=HD=2

5

，
在Rt△ADH中，AD=

AH2+HD2

=

(4 5 )2+(2 5 )2

=10，
∴OD=2，
∴D（-2，0）；

（2）∵BC⊥AB，
∴∠ABO+∠OBC=90°，
∵∠BOA=90°，
∴∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠OBC=∠BAO，
∴tan∠OBC=tan∠BAO=

1

2

，
在Rt△CBO中，tan∠OBC=

OC

OB

=

1

2

，OB=6，
∴OC=3，
∴DC=OD+OD=5，
∵PE∥AD，
∴

BP

BA

=

BE

BD

，
∵PF∥AC，
∴△BEF∽△BDC，
∴

BE

BD

=

EF

DC

，
∴

BP

BA

=

EF

DC

，
∵AP=

5

t，
∴BP=AB-AP=6

5

-

5

t，
∴

6 5 - 5 t

6 5

=

y

5

，
∴y=-

5

6

t+5；

（3）连接DG，CG，
∵∠GBC=90°，
∴CG为同时经过B，C，D三点的圆的直径，
∴∠GDC=90°，
∵∠GBD与∠GCD是

GD

所对的圆周角，
∴∠GCD=∠GBD=45°，
∴∠DGC=180°-∠DCG-∠GDC=45°，
∴∠GCD=∠DGC，
∴GD=DC=5，
∵AD=10，
在Rt△ADG中，AG=

AD2+DG2

=

52+102

=5

5

，
∴当0＜t＜5时，PG=5

5

-

5

t，
∵EF=

5

3

PG，
∴-

5

6

t+5=

5

3

（5

5

-

5

t），
解得：t=4；
当5＜t＜6时，PG=

5

t-5

5

，
∵EF=

5

3

PG，
∴-

5

6

t+5=

5

3

（

5

t-5

5

），
解得：t=

16

3

；
∴当t=4或t=

16

3

时有EF=

5

3

PG．
解：（1）∵直线y=

1

2

x+6交x轴于点A，交y轴于点B，
∴当x=0时，y=6，当y=0时，x=-12，
∴A（-12，0），B（0，6），
∴OA=12，OB=6，
∵BC⊥AB，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=45°，
过点D作DH⊥AB于点H，
则∠HDB=180°-∠DHB-∠ABD=45°，
∴∠ABD=∠HDB，
∴HD=HB，
在Rt△AHD和Rt△ABO内，tan∠BAO=

DH

HA

=

OB

AO

=

6

12

=

1

2

，
∴AH=2HD=2BH，
在Rt△ABO中，AB=

OA2+OB2

=6

5

，
∴AH+BH=6

5

，
∴AH=4

5

，BH=HD=2

5

，
在Rt△ADH中，AD=

AH2+HD2

=

(4 5 )2+(2 5 )2

=10，
∴OD=2，
∴D（-2，0）；

（2）∵BC⊥AB，
∴∠ABO+∠OBC=90°，
∵∠BOA=90°，
∴∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠OBC=∠BAO，
∴tan∠OBC=tan∠BAO=

1

2

，
在Rt△CBO中，tan∠OBC=

OC

OB

=

1

2

，OB=6，
∴OC=3，
∴DC=OD+OD=5，
∵PE∥AD，
∴

BP

BA

=

BE

BD

，
∵PF∥AC，
∴△BEF∽△BDC，
∴

BE

BD

=

EF

DC

，
∴

BP

BA

=

EF

DC

，
∵AP=

5

t，
∴BP=AB-AP=6

5

-

5

t，
∴

6 5 - 5 t

6 5

=

y

5

，
∴y=-

5

6

t+5；

（3）连接DG，CG，
∵∠GBC=90°，
∴CG为同时经过B，C，D三点的圆的直径，
∴∠GDC=90°，
∵∠GBD与∠GCD是

GD

所对的圆周角，
∴∠GCD=∠GBD=45°，
∴∠DGC=180°-∠DCG-∠GDC=45°，
∴∠GCD=∠DGC，
∴GD=DC=5，
∵AD=10，
在Rt△ADG中，AG=

AD2+DG2

=

52+102

=5

5

，
∴当0＜t＜5时，PG=5

5

-

5

t，
∵EF=

5

3

PG，
∴-

5

6

t+5=

5

3

（5

5

-

5

t），
解得：t=4；
当5＜t＜6时，PG=

5

t-5

5

，
∵EF=

5

3

PG，
∴-

5

6

t+5=

5

3

（

5

t-5

5

），
解得：t=

16

3

；
∴当t=4或t=

16

3

时有EF=

5

3

PG．