试题

已知A（2

3

，0），直线y=（2-

3

）x-2交x轴于点F，y轴于点B，直线l∥AB且交 y轴于点C，交x轴于点D，点A关于直线l的对称点为A'，连接AA'，A'D．直线l从AB开始，以1个单位每秒的速度沿y轴正方向向上平移，设移动时间为t．
（1）求A'点的坐标（用t的代数式表示）；
（2）请猜想AB与AF长度的数量关系，并说明理由；
（3）过点C作直线AB的垂线交直线y=（2-

3

）x-2于点E，以点C为圆心CE为半径作⊙C，求当t为何值时，⊙C与△AA′D三边所在直线相切？

解：（1）∵l∥AB．
∴∠ODC=∠OAB，
∵A（2

3

，0）B（0，-2），
∴tan∠OAB=

3

3

，
∴∠ODC=∠OAB=30°．
∵BC=t，∴OC=2-t，
∴OD=

3

（2-t），
∴AD=

3

t．
∵点A关于直线l的对称点为A'，
∴A'D=AD=

3

t∠A'DA=60°，
∴△A'DA是正三角形．
过点A'作A'H⊥AD于H，
∴AH=

3

2

tA'H=

3

2

t，
∴A'点的坐标为（2

3

-

3

2

t，

3

2

t）．

（2）AB=AF．
说明：∵F（4+2

3

，0），
∴AF=4，
在Rt△OAB中，OA=2

3

，OB=2，
∴AB=4，
∴AB=AF．

（3）∵直线l是点A和A'的对称轴，
∴直线l是∠A'DA的平分线，
∴点C到直线AD和A'D的距离相等，
∴当⊙C与AD相切时，也一定与A'D相切．
∵∠OAB=30°且AB=AF，
∴∠ABF=15°，
∴∠CBF=75°．
∵CE⊥AB∠OBA=60°，
∴∠BCE=30°，
∴∠CEB=75°，
∴CB=CE．
∵⊙C与AD相切，
∴OC=CE=CB，
∴t=1．
当⊙C与AA'相切于点M时，CE=CB=CM，
∴CM=t，
∵CM=DM-CD，
在Rt△OCD中，∠ODC=30°，OC=t-2，
∴CD=2t-4，
∴2t-4+t=

3

2

t，
∴t=

8

3

．
解：（1）∵l∥AB．
∴∠ODC=∠OAB，
∵A（2

3

，0）B（0，-2），
∴tan∠OAB=

3

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，
∴∠ODC=∠OAB=30°．
∵BC=t，∴OC=2-t，
∴OD=

3

（2-t），
∴AD=

3

t．
∵点A关于直线l的对称点为A'，
∴A'D=AD=

3

t∠A'DA=60°，
∴△A'DA是正三角形．
过点A'作A'H⊥AD于H，
∴AH=

3

2

tA'H=

3

2

t，
∴A'点的坐标为（2

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-

3

2

t，

3

2

t）．

（2）AB=AF．
说明：∵F（4+2

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，0），
∴AF=4，
在Rt△OAB中，OA=2

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，OB=2，
∴AB=4，
∴AB=AF．

（3）∵直线l是点A和A'的对称轴，
∴直线l是∠A'DA的平分线，
∴点C到直线AD和A'D的距离相等，
∴当⊙C与AD相切时，也一定与A'D相切．
∵∠OAB=30°且AB=AF，
∴∠ABF=15°，
∴∠CBF=75°．
∵CE⊥AB∠OBA=60°，
∴∠BCE=30°，
∴∠CEB=75°，
∴CB=CE．
∵⊙C与AD相切，
∴OC=CE=CB，
∴t=1．
当⊙C与AA'相切于点M时，CE=CB=CM，
∴CM=t，
∵CM=DM-CD，
在Rt△OCD中，∠ODC=30°，OC=t-2，
∴CD=2t-4，
∴2t-4+t=

3

2

t，
∴t=

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