试题

（2009·德化县质检）已知直线l₁：y=

3

x与直线l₂：y=-(2+

3

)x+b相交于点B（2

3

，2），且直线l₂与x轴相交于点A．
（1）求A点的坐标；
（2）点C在线段AB上，过C点作CD∥OB，交x轴于D点，已知以线段CD为直径的⊙M与直线l₁相切．
①求⊙M的半径r；
②若把△OAB绕着原点O逆时针旋转90°得到△OA'B'，在y轴上是否存在一点P，使得⊙P与⊙M、以OA'为直径的⊙N都相切？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）依题意可知：
y=-2（2+

3

）×2

3

+b，
解得：b=8+4

3

；
∴直线l₂：y=-（2+

3

）x+8+4

3

．
由y=0得：0=-（2+

3

）x+8+4

3

，解得x=4；
∴A（4，0）．

（2）①设点M到直线l₁的距离为d，过点A作AE⊥l₁于点E；
在Rt△AOE中，AE=

1

2

，OA=2，
∵CD∥l₁，
∴

2-d

2

=

2r

4

，
∴d=2-r；
∵OM与l₁相切，
∴2-r=r，即r=1；
②容易求得M（2+

3

2

，

1

2

），
设⊙P的半径为R，
根据两圆相切的性质可得：
（一）当⊙P与⊙M、⊙N都外切时，得：
（R+1）²=（2+

3

2

）²+（R+

1

2

）²，解得R=4+2

3

，
∴P₁（0，-4-2

3

），
（二）当⊙N、⊙M都与⊙P内切时，得：
（R-1）²=（2+

3

2

）²+（R-

1

2

）²，
解得R=

16

5

+

2

5

3

＜4
∴P₂（0，

4

5

-

2

5

3

）；
综上所述，满足条件的P点的坐标为P₁（0，-4-2

3

），P₂（0，

4

5

-

2

5

3

）．
解：（1）依题意可知：
y=-2（2+

3

）×2

3

+b，
解得：b=8+4

3

；
∴直线l₂：y=-（2+

3

）x+8+4

3

．
由y=0得：0=-（2+

3

）x+8+4

3

，解得x=4；
∴A（4，0）．

（2）①设点M到直线l₁的距离为d，过点A作AE⊥l₁于点E；
在Rt△AOE中，AE=

1

2

，OA=2，
∵CD∥l₁，
∴

2-d

2

=

2r

4

，
∴d=2-r；
∵OM与l₁相切，
∴2-r=r，即r=1；
②容易求得M（2+

3

2

，

1

2

），
设⊙P的半径为R，
根据两圆相切的性质可得：
（一）当⊙P与⊙M、⊙N都外切时，得：
（R+1）²=（2+

3

2

）²+（R+

1

2

）²，解得R=4+2

3

，
∴P₁（0，-4-2

3

），
（二）当⊙N、⊙M都与⊙P内切时，得：
（R-1）²=（2+

3

2

）²+（R-

1

2

）²，
解得R=

16

5

+

2

5

3

＜4
∴P₂（0，

4

5

-

2

5

3

）；
综上所述，满足条件的P点的坐标为P₁（0，-4-2

3

），P₂（0，

4

5

-

2

5

3

）．