试题

（2009·河东区二模）如图，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0）、（6，8）．动点M、N分别从O、B同时出发、以每秒1个单位的速度运动，点M沿OA向点A运动，点N沿BC向点C运动，已知动点运动了t秒．过点M作MP⊥x轴，交AC于P，连接NP．
①直接写出直线AC的解析式和点P的坐标（用含t的代数式表示）；
②当t为何值时，△CPN的面积取得最大值？并求出△CPN面积的最大值；
③当t为何值时，△CPN是一个等腰三角形？

解：（1）由题意可知，C（0，8），M（t，0），N（6-t，8），
设直线AC的解析式是：y=kx+b，
则

b=8 6k+b=0

，
解得

k= - 4 3 b=8

，
∴直线AC的解析式是：y=-

4

3

x+8，
∵MP⊥x轴，
∴PM∥OC，
∴△APM∽△ACO，
∴

PM

OC

=

AM

OA

，
即

PM

8

=

6-t

6

，
解得PM=

4

3

（6-t）=8-

4

3

t，
∴P点坐标为（t，8-

4

3

t）；

（2）设△NPC的面积为S，在△NPC中，NC=BC-BN=6-t，
NC边上的高为8-（8-

4

3

t）=

4

3

t，其中，0≤t≤6．
∴S=

1

2

（6-t）×

4

3

t=-

2

3

（t²-6t）=-

2

3

（t-3）²+6，
∴当t=3时，△CPN的面积取得最大值，△CPN面积的最大值为6；

（3）延长MP交CB于Q，则有PQ⊥BC．
①若NP=CP，
∵PQ⊥BC，
∴NQ=CQ=t．
∴6-t-t=t，
解得t=2；
②若CP=CN，则CN=6-t，PQ=

4

3

t，CP=

5

3

t，
∴6-t=

5

3

t，
解得t=

9

4

；
③若CN=NP，则CN=6-t．
∵PQ=

4

3

t，NQ=6-t-t=6-2t，
∵在Rt△PNQ中，PN²=NQ²+PQ²，
∴（6-t）²=（6-2t）²+（

4

3

t）²，
解得t=

108

43

．
综上所述，t=2或t=

9

4

或t=

108

43

．
解：（1）由题意可知，C（0，8），M（t，0），N（6-t，8），
设直线AC的解析式是：y=kx+b，
则

b=8 6k+b=0

，
解得

k= - 4 3 b=8

，
∴直线AC的解析式是：y=-

4

3

x+8，
∵MP⊥x轴，
∴PM∥OC，
∴△APM∽△ACO，
∴

PM

OC

=

AM

OA

，
即

PM

8

=

6-t

6

，
解得PM=

4

3

（6-t）=8-

4

3

t，
∴P点坐标为（t，8-

4

3

t）；

（2）设△NPC的面积为S，在△NPC中，NC=BC-BN=6-t，
NC边上的高为8-（8-

4

3

t）=

4

3

t，其中，0≤t≤6．
∴S=

1

2

（6-t）×

4

3

t=-

2

3

（t²-6t）=-

2

3

（t-3）²+6，
∴当t=3时，△CPN的面积取得最大值，△CPN面积的最大值为6；

（3）延长MP交CB于Q，则有PQ⊥BC．
①若NP=CP，
∵PQ⊥BC，
∴NQ=CQ=t．
∴6-t-t=t，
解得t=2；
②若CP=CN，则CN=6-t，PQ=

4

3

t，CP=

5

3

t，
∴6-t=

5

3

t，
解得t=

9

4

；
③若CN=NP，则CN=6-t．
∵PQ=

4

3

t，NQ=6-t-t=6-2t，
∵在Rt△PNQ中，PN²=NQ²+PQ²，
∴（6-t）²=（6-2t）²+（

4

3

t）²，
解得t=

108

43

．
综上所述，t=2或t=

9

4

或t=

108

43

．