试题

（2009·江东区质检）已知：如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，直线y=x+3与x、y轴分别相交于点A、B，点C在y轴的负半轴上，且∠CAO=30°，点D在线段AC的延长线上，且CD=CO，连接OD、BD，BD交x轴于点E．
（1）求直线AC的解析式；
（2）求证：OB=OD；
（3）图中有几对相似三角形（不添加其他字母和线段）请写出所有的相似三角形，并选择其中的一对加以证明．

解：（1）由题意得，A（-3，0），B（0，3），
∵∠CAO=30°，OA=3，
∴OC=

3

，即C(0，-

3

)，（1分）
设直线AC的解析式为y=kx+b，
∴

-3k+b=0 b=- 3

，解得

k=- 3 3 b=- 3

∴直线AC的解析式是y=-

3

3

x-

3

．（3分）

（2）∵CO=CD，∠ACO=90°-30°=60°，
∴∠ODA=30°=∠CAO．
∴OD=OA．
∵OA=OB，
∴OB=OD．（5分）

（3）存在4对相似三角形：△ODC∽△ADO，△BAC∽△DAB∽△AEB，证明如下：
①∵CO=CD，∠ACO=90°-30°=60°，
∴∠COD=∠OAD=30°，
而∠ODC=∠ADO，
∴△ODC∽△ADO，
②∵OB=OD，∠COD=30°，
∴∠ODB=∠OBD=15°，
∴∠ADB=∠CDO+∠ODB=30°+15°=45°，
∴∠ADB=∠ABC=45°，
而∠BAC=∠DAB，
∴△BAC∽△DAB．（10分）
解：（1）由题意得，A（-3，0），B（0，3），
∵∠CAO=30°，OA=3，
∴OC=

3

，即C(0，-

3

)，（1分）
设直线AC的解析式为y=kx+b，
∴

-3k+b=0 b=- 3

，解得

k=- 3 3 b=- 3

∴直线AC的解析式是y=-

3

3

x-

3

．（3分）

（2）∵CO=CD，∠ACO=90°-30°=60°，
∴∠ODA=30°=∠CAO．
∴OD=OA．
∵OA=OB，
∴OB=OD．（5分）

（3）存在4对相似三角形：△ODC∽△ADO，△BAC∽△DAB∽△AEB，证明如下：
①∵CO=CD，∠ACO=90°-30°=60°，
∴∠COD=∠OAD=30°，
而∠ODC=∠ADO，
∴△ODC∽△ADO，
②∵OB=OD，∠COD=30°，
∴∠ODB=∠OBD=15°，
∴∠ADB=∠CDO+∠ODB=30°+15°=45°，
∴∠ADB=∠ABC=45°，
而∠BAC=∠DAB，
∴△BAC∽△DAB．（10分）