如图，菱形OABC在平面直角坐标系中，点C的坐标为（3，4），点A在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点D．动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A-B-C向点C匀速运动，同时点...-青果题库-青果学院

题目：

（2010·平房区一模）如图，菱形OABC在平面直角坐标系中，点C的坐标为（3，4），点A在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点D．动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A-B-C向点C匀速运动，同时点Q从点D出发，以每秒

5

个单位的速度沿D

A向点A匀速运动；设点P、Q运动时间为t（秒）
（1）求点A的坐标；
（2）求△PCQ的面积S（S≠0）与运动时间t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）过点P作PH⊥AD于H，试求点P在运动的过程中t为何值时，tan∠PQH=

1

4

？

答案

解：（1）∵点C的坐标为（3，4），
∴OC=

32+42

=5，
又∵四边形OABC为菱形，
∴OA=OC=5，
∴点A的坐标为（5，0）；

（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（5，0）和点C（3，4）分别代入得，5k+b=0，3k+b=4，解得k=-2，b=10，
∴OD=10，
∴AD=

102+52

=5

5

，
延长BC交OD于M，则CM=3，OM=4，
∴DM=10-4=6，
DC=

62+32

=3

5

；
①当点P在线段AB上，Q在线段CD上，青果学院

PA=2t，DQ=

5

t，CQ=3

5

-

5

t，
过点P作PH⊥AD于H，如图，
∵四边形OABC为菱形，
∴∠PAH=∠OAD，
∴Rt△PHA∽Rt△DOA，
∴PH：OD=AH：OA=PA：AD，即PH：10=AH：5=2t：5

5

，
∴PH=

4

5

t，AH=

2

5

t，
∴S=

1

2

QC·PH=

1

2

·（3

5

-

5

t）·

4

5

t=-2t2+6t（0＜t≤2.5）
②当点P在线段BC上，Q在线段CD上，青果学院

PC=10-2t，
过点P作PH⊥AD于H，如图，
易证Rt△PCH∽Rt△DAO，
∴PH：OD=CH：OA=PC：AD，即PH：10=CH：5=（10-2t）：5

5

，
∴PH=4

5

-

4

5

t，CH=2

5

-

2

5

t，
∴S=

1

2

PH·CQ=

1

2

·（4

5

-

4

5

t）·（3

5

-

5

t）=2t²-16t+30（2.5＜t＜3）；
③当点P在线段BC上，Q在线段CA上，
过点P作PH⊥AD于H，如图，
由②知PH=4

5

-

4

5

t，

∴S=

1

2

PH·CQ=

1

2

·（4

5

-

4

5

t）·（

5

t-3

5

）=-2t²+16t-30（3＜t＜5）；

（3）当0＜t≤2.5，
∵PH=

4

5

t，AH=

2

5

t，
∴QH=5

5

-

5

t-

2

5

t=5

5

-

7

5

t，
∵tan∠PQH=

1

4

，
∴PH：QH=

4

5

t

5

-

7

5

t

5

=

1

4

，解得t=

25

23

；
当2.5＜t＜3，
∵PH=4

5

-

4

5

t，CH=2

5

-

2

5

t，
∴QH=3

5

-

5

t+2

5

-

2

5

t=5

5

-

7

5

t，
∵tan∠PQH=

1

4

，
∴PH：QH=（4

5

-

4

5

t）：（5

5

-

7

5

t）=

1

4

，解得t=

55

9

（舍去）；
当3＜t＜5，
∵PH=4

5

-

4

5

t，CH=2

5

-

2

5

t，
∴QH=

5

t-3

5

-（2

5

-

2

5

t）=

7

5

t-5

5

，
∵tan∠PQH=

1

4

，
∴PH：QH=（4

5

-

4

5

t）：（

7

5

t-5

5

）=

1

4

，解得t=

105

23

；
∴点P在运动的过程中t为

25

23

或

105

23

时，tan∠PQH=

1

4

．
解：（1）∵点C的坐标为（3，4），
∴OC=

32+42

=5，
又∵四边形OABC为菱形，
∴OA=OC=5，
∴点A的坐标为（5，0）；

（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（5，0）和点C（3，4）分别代入得，5k+b=0，3k+b=4，解得k=-2，b=10，
∴OD=10，
∴AD=

102+52

=5

5

，
延长BC交OD于M，则CM=3，OM=4，
∴DM=10-4=6，
DC=

62+32

=3

5

；
①当点P在线段AB上，Q在线段CD上，青果学院

PA=2t，DQ=

5

t，CQ=3

5

-

5

t，
过点P作PH⊥AD于H，如图，
∵四边形OABC为菱形，
∴∠PAH=∠OAD，
∴Rt△PHA∽Rt△DOA，
∴PH：OD=AH：OA=PA：AD，即PH：10=AH：5=2t：5

5

，
∴PH=

4

5

t，AH=

2

5

t，
∴S=

1

2

QC·PH=

1

2

·（3

5

-

5

t）·

4

5

t=-2t2+6t（0＜t≤2.5）
②当点P在线段BC上，Q在线段CD上，青果学院

PC=10-2t，
过点P作PH⊥AD于H，如图，
易证Rt△PCH∽Rt△DAO，
∴PH：OD=CH：OA=PC：AD，即PH：10=CH：5=（10-2t）：5

5

，
∴PH=4

5

-

4

5

t，CH=2

5

-

2

5

t，
∴S=

1

2

PH·CQ=

1

2

·（4

5

-

4

5

t）·（3

5

-

5

t）=2t²-16t+30（2.5＜t＜3）；
③当点P在线段BC上，Q在线段CA上，
过点P作PH⊥AD于H，如图，
由②知PH=4

5

-

4

5

t，

∴S=

1

2

PH·CQ=

1

2

·（4

5

-

4

5

t）·（

5

t-3

5

）=-2t²+16t-30（3＜t＜5）；

（3）当0＜t≤2.5，
∵PH=

4

5

t，AH=

2

5

t，
∴QH=5

5

-

5

t-

2

5

t=5

5

-

7

5

t，
∵tan∠PQH=

1

4

，
∴PH：QH=

4

5

t

5

-

7

5

t

5

=

1

4

，解得t=

25

23

；
当2.5＜t＜3，
∵PH=4

5

-

4

5

t，CH=2

5

-

2

5

t，
∴QH=3

5

-

5

t+2

5

-

2

5

t=5

5

-

7

5

t，
∵tan∠PQH=

1

4

，
∴PH：QH=（4

5

-

4

5

t）：（5

5

-

7

5

t）=

1

4

，解得t=

55

9

（舍去）；
当3＜t＜5，
∵PH=4

5

-

4

5

t，CH=2

5

-

2

5

t，
∴QH=

5

t-3

5

-（2

5

-

2

5

t）=

7

5

t-5

5

，
∵tan∠PQH=

1

4

，
∴PH：QH=（4

5

-

4

5

t）：（

7

5

t-5

5

）=

1

4

，解得t=

105

23

；
∴点P在运动的过程中t为

25

23

或

105

23

时，tan∠PQH=

1

4

．

考点梳理

一次函数综合题．

试题