试题

（2010·新乡一模）如图，直线y=-

5

12

x+5与x轴、y轴的交点分别为A、B，点M在线段AB上，且AM=6，动点P从点O出发以每秒2个单位长度的速度沿x轴向点A运动（点P与点O、A 均不重合）．设点P运动t秒时，△APM的面积为S．
（1）求S与t之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（2）在运动过程中，是否存在S=

15

2

的情形？若存在，请判断此时△APM的形状，并说明理由；若不存在，请说明理由；
（3）在运动过程中，当△APM为等腰三角形时，求t的值．

解：（1）过M作MD⊥OA于D，如图，
令x=0，y=5；令y=0，x=12，
∴OA=12，OB=5，
∴AB=13，
∵MD∥OB，
∴Rt△AMD∽Rt△ABO，
∴MD：OB=AD：AO=AM：AB，
而AM=6，
∴MD=

30

13

，AD=

72

13

，
又OP=2t，则PA=12-2t，
∴S=

1

2

MD·PA=

1

2

·

30

13

·（12-2t）=-

30t

13

+

180

13

（0＜t＜6）；

（2）存在S=

15

2

的情形，此时△APM为直角三角形．理由如下：
∵-

30t

13

+

180

13

=

15

2

，
∴t=

11

4

，
∴PA=12-2t=12-2×

11

4

=

13

2

，
∴AP：AB=AM：AO=1：2，
而∠PAM=∠BAO，
∴△APM∽△ABO，
∴∠AMP=∠AOB=90°，
即△APM是以AP为斜边的直角三角形；

（3）当MP=MA，
∴DP=DA，即AP=2AD，
∴12-2t=

72

13

×2，
∴t=

6

13

；
当AM=AP，
∴12-2t=6，
∴t=3；
当PA=PM，过P作PC⊥MA于C，如右图，
∴AC=MC=3，
∵Rt△APC∽Rt△ABO，
∴PA：AB=AC：AO，即PA：13=3：12，
∴PA=

13

4

，
∴12-2t=

13

4

，
∴t=

35

8

；
所以△APM为等腰三角形时，t的值为

6

13

秒或3秒或

35

8

秒．
解：（1）过M作MD⊥OA于D，如图，
令x=0，y=5；令y=0，x=12，
∴OA=12，OB=5，
∴AB=13，
∵MD∥OB，
∴Rt△AMD∽Rt△ABO，
∴MD：OB=AD：AO=AM：AB，
而AM=6，
∴MD=

30

13

，AD=

72

13

，
又OP=2t，则PA=12-2t，
∴S=

1

2

MD·PA=

1

2

·

30

13

·（12-2t）=-

30t

13

+

180

13

（0＜t＜6）；

（2）存在S=

15

2

的情形，此时△APM为直角三角形．理由如下：
∵-

30t

13

+

180

13

=

15

2

，
∴t=

11

4

，
∴PA=12-2t=12-2×

11

4

=

13

2

，
∴AP：AB=AM：AO=1：2，
而∠PAM=∠BAO，
∴△APM∽△ABO，
∴∠AMP=∠AOB=90°，
即△APM是以AP为斜边的直角三角形；

（3）当MP=MA，
∴DP=DA，即AP=2AD，
∴12-2t=

72

13

×2，
∴t=

6

13

；
当AM=AP，
∴12-2t=6，
∴t=3；
当PA=PM，过P作PC⊥MA于C，如右图，
∴AC=MC=3，
∵Rt△APC∽Rt△ABO，
∴PA：AB=AC：AO，即PA：13=3：12，
∴PA=

13

4

，
∴12-2t=

13

4

，
∴t=

35

8

；
所以△APM为等腰三角形时，t的值为

6

13

秒或3秒或

35

8

秒．