试题

（2011·北京一模）已知：如图，等边△ABC中，AB=1，P是AB边上一动点，作PE⊥BC，垂足为E；作EF⊥AC，垂足为F；作FQ⊥AB，垂足为Q．
（1）设BP=x，AQ=y，求y与x之间的函数关系式；
（2）当点P和点Q重合时，求线段EF的长；
（3）当点P和点Q不重合，但线段PE、FQ延长线相交时，求它们与线段EF围成的三角形周长的取值范围．

解：（1）∵△ABC是等边三角形，AB=1．
∴∠A=∠B=∠C=60°，BC=CA=AB=1．
又∵∠BEP=∠CFE=∠FQA=90°，BP=x．
∴BE=

1

2

x，CE=1-

1

2

x，CF=

1

2

-

1

4

x，AF=1-（

1

2

-

1

4

x）=

1

2

+

1

4

x．
∴AQ=

1

2

AF=

1

2

（

1

2

+

1

4

x），
∴y=

1

8

x+

1

4

．

（2）由方程组

x+y=1 y= 1 8 x+ 1 4 .

得x=

2

3

．
∴当点P和点Q重合时，x=

2

3

，
∴EF=

3

CF=

3

（

1

2

-

1

4

x）=

3

3

．

（3）设线段EP、FQ的延长线相交于点M，
∵EF⊥AC，
∴∠3+∠QFE=90°，
∵FQ⊥AB，
∴∠A+∠3=90°，
∴∠A=∠QFE=60°，
∵∠1+∠C=90°，
∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠C=60°，
∴△MEF是等边三角形，
且当点P和点A重合时，EF最短为

3

4

．
∴

3 3

4

≤m＜

3

．
解：（1）∵△ABC是等边三角形，AB=1．
∴∠A=∠B=∠C=60°，BC=CA=AB=1．
又∵∠BEP=∠CFE=∠FQA=90°，BP=x．
∴BE=

1

2

x，CE=1-

1

2

x，CF=

1

2

-

1

4

x，AF=1-（

1

2

-

1

4

x）=

1

2

+

1

4

x．
∴AQ=

1

2

AF=

1

2

（

1

2

+

1

4

x），
∴y=

1

8

x+

1

4

．

（2）由方程组

x+y=1 y= 1 8 x+ 1 4 .

得x=

2

3

．
∴当点P和点Q重合时，x=

2

3

，
∴EF=

3

CF=

3

（

1

2

-

1

4

x）=

3

3

．

（3）设线段EP、FQ的延长线相交于点M，
∵EF⊥AC，
∴∠3+∠QFE=90°，
∵FQ⊥AB，
∴∠A+∠3=90°，
∴∠A=∠QFE=60°，
∵∠1+∠C=90°，
∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠C=60°，
∴△MEF是等边三角形，
且当点P和点A重合时，EF最短为

3

4

．
∴

3 3

4

≤m＜

3

．