试题

如图，已知直线y=-x+7与直线y=

4

3

x交于点A，且与x轴交于点B，过点A作AC⊥y轴与点C．点P从O点以每秒1个单位的速度沿折现O-C-A运动到A；点R从B点以相同的速度向O点运动，一个点到终点时，另一个点也随之停止运动．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点R作直线l∥y轴，直线l交线段BA或线段AO于点Q．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．
①当t为何值时，以A，P，R为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵一次函数y=-x+7与正比例函数y=

4

3

交于点A，且与x轴交于点B．
∴

y=-x+7 y= 4 3 x

，
解得，

x=3 y=4

，
∴A点坐标为：（3，4）；
∵y=-x+7=0，
解得：x=7，
∴B点坐标为：（7，0）．

（2）①当P在OC上运动时，0≤t＜4时，PO=t，PC=4-t，BR=t，OR=7-t，
∵当以A、P、R为顶点的三角形的面积为8，
∴S_梯形ACOB-S_△ACP-S_△POR-S_△ARB=8，
∴

1

2

（AC+BO）×CO-

1

2

AC×CP-

1

2

PO×RO-

1

2

AM×BR=8，
∴（AC+BO）×CO-AC×CP-PO×RO-AM×BR=16，
∴（3+7）×4-3×（4-t）-t×（7-t）-4t=16，
∴t²-8t+12=0，
解得：t₁=2，t₂=6（舍去），
当4≤t＜7时，S_△APR=

1

2

AP×OC=2（7-t）=8，解得t=3，不符合4≤t＜7；
综上所述，当t=2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8；

②存在．延长CA交直线l于一点D，当l与AB相交于Q，
∵一次函数y=-x+7与x轴交于（7，0）点，与y轴交于（0，7）点，
∴NO=OB，
∴∠OBN=∠ONB=45°，
∵直线l∥y轴，
∴RQ=RB，CD⊥L，
如图1，当0≤t＜4时，RB=OP=QR=t，DQ=AD=（4-t），AC=3，PC=4-t，
∵以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，则AP=AQ，
∴AC²+PC²=AP²=AQ²=2AD²，∴9+（4-t）²=2（4-t）²，解得：t₁=1，t₂=7（舍去），
当AP=PQ时 3²+（4-t）²=（7-t）²，
解得t=4 （舍去）
 当PQ=AQ时，2（4-t）²=（7-t）²，
解得t₁=1+3

2

（舍去），t₂=1-3

2

（舍去）
如图2，当4≤t＜7时，过A作AD⊥OB于D，则AD=BD=4，
设直线l交AC于E，则QE⊥AC，AE=RD=t-4，AP=7-t，
由cos∠OAC=

AE

AQ

=

AC

AO

，
得AQ=

5

3

（t-4），
若AQ=AP，则

5

3

（t-4）=7-t，解得t=

41

8

，
当AQ=PQ时，AE=PE，即AE=

1

2

AP，
得t-4=

1

2

（7-t），
解得：t=5，
当AP=PQ时，过P作PF⊥AQ，于F，
AF=

1

2

AQ=

1

2

×

5

3

（t-4），
在Rt△APF中，由cos∠PAF=

AF

AP

=

3

5

，
得AF=

3

5

AP，即

1

2

×

5

3

（t-4）=

3

5

（7-t），
解得：t=

226

43

，
综上所述，当t=1、5、

41

8

、

226

43

秒时，存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．
解：（1）∵一次函数y=-x+7与正比例函数y=

4

3

交于点A，且与x轴交于点B．
∴

y=-x+7 y= 4 3 x

，
解得，

x=3 y=4

，
∴A点坐标为：（3，4）；
∵y=-x+7=0，
解得：x=7，
∴B点坐标为：（7，0）．

（2）①当P在OC上运动时，0≤t＜4时，PO=t，PC=4-t，BR=t，OR=7-t，
∵当以A、P、R为顶点的三角形的面积为8，
∴S_梯形ACOB-S_△ACP-S_△POR-S_△ARB=8，
∴

1

2

（AC+BO）×CO-

1

2

AC×CP-

1

2

PO×RO-

1

2

AM×BR=8，
∴（AC+BO）×CO-AC×CP-PO×RO-AM×BR=16，
∴（3+7）×4-3×（4-t）-t×（7-t）-4t=16，
∴t²-8t+12=0，
解得：t₁=2，t₂=6（舍去），
当4≤t＜7时，S_△APR=

1

2

AP×OC=2（7-t）=8，解得t=3，不符合4≤t＜7；
综上所述，当t=2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8；

②存在．延长CA交直线l于一点D，当l与AB相交于Q，
∵一次函数y=-x+7与x轴交于（7，0）点，与y轴交于（0，7）点，
∴NO=OB，
∴∠OBN=∠ONB=45°，
∵直线l∥y轴，
∴RQ=RB，CD⊥L，
如图1，当0≤t＜4时，RB=OP=QR=t，DQ=AD=（4-t），AC=3，PC=4-t，
∵以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，则AP=AQ，
∴AC²+PC²=AP²=AQ²=2AD²，∴9+（4-t）²=2（4-t）²，解得：t₁=1，t₂=7（舍去），
当AP=PQ时 3²+（4-t）²=（7-t）²，
解得t=4 （舍去）
 当PQ=AQ时，2（4-t）²=（7-t）²，
解得t₁=1+3

2

（舍去），t₂=1-3

2

（舍去）
如图2，当4≤t＜7时，过A作AD⊥OB于D，则AD=BD=4，
设直线l交AC于E，则QE⊥AC，AE=RD=t-4，AP=7-t，
由cos∠OAC=

AE

AQ

=

AC

AO

，
得AQ=

5

3

（t-4），
若AQ=AP，则

5

3

（t-4）=7-t，解得t=

41

8

，
当AQ=PQ时，AE=PE，即AE=

1

2

AP，
得t-4=

1

2

（7-t），
解得：t=5，
当AP=PQ时，过P作PF⊥AQ，于F，
AF=

1

2

AQ=

1

2

×

5

3

（t-4），
在Rt△APF中，由cos∠PAF=

AF

AP

=

3

5

，
得AF=

3

5

AP，即

1

2

×

5

3

（t-4）=

3

5

（7-t），
解得：t=

226

43

，
综上所述，当t=1、5、

41

8

、

226

43

秒时，存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．