如图，已知直线L1的解析式为y=1.5x+6，直线L1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线L2经过B、C两点，点C的坐标为（8，0），又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直...-青果题库-青果学院

题目：

如图，已知直线L₁的解析式为y=1.5x+6，直线L₁与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线L₂经过B、C两点，点C的坐标为（8，0），又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在青果学院

直线L₂从点C向点B移动（一点到达终点，另一点即停止运动）．点P、Q同时出发，移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒．
（1）求直线L₂的解析式；
（2）设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻，当过P、Q两点的直线平分△OCB的周长时，△PCQ的面积达到最大？若存在，求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）试探究：当t为何值时，△PCQ为等腰三角形？

答案

解：（1）y=-

3

4

x+6．

（2）过点Q作QE⊥AC于点E，
OB=6，OC=8，∴BC=10，PC=12-t·1，
QE⊥AC，BO⊥AC，∴△QCE∽△BOC，
∴

QE

BO

=

CQ

CB

，

QE

6

=

t

10

，∴QE=

6

10

t=

3

5

t，
∴S=

1

2

PC·QE=

1

2

（12-t）·

3

5

t=-

3

10

t²+

18

5

t．

（3）存在，
S=-

3

10

t²+

18

5

t=-

3

10

（t-6）²+10.8，
∴当t=2时，S有最大值，最大值为10.8，此时CP=6，CQ=6，
∴L_△CBO=6+8+10=24，∴CP+CQ=12，
△QCE∽△BOC，∴

QE

BO

=

CQ

BC

=

CE

CO

，即

QE

6

=

6

10

=

CE

8

．
∴QE=

18

5

，CE=

24

5

，
∴OE=OC-CE=8-

24

5

=

16

5

，
∴点Q的坐标为（

16

5

，

18

5

）．

（4）①当CP=CQ时，△PQC为等腰三角形；
∵AP=CQ=t，CP=12-t，
∴t=12-t，即t=6，当PQ=CQ时，△PQC为等腰三角形；
②PQ=CQ，QE⊥OC，
∴CE=PE=

1

2

（12-t）
∵△CQE∽△CBO，
∴

CQ

CB

=

CE

CO

，即

t

10

=

1

2

(12-t)

8

，
∴t=

60

13

；
③当PQ=CP时，△PQC为等腰三角形，过点P作PH⊥BC于点H，
则CH=HQ=

1

2

t，∠CHP=∠COB=90°，∠PCH=∠BCO，∴△CHP∽△COB，
∴

CH

OC

=

CP

CB

，即

1

2

t

8

=

12-t

10

，∴t=

96

13

．
综上所述t=6，t=

60

13

，t=

96

13

时，△PQC为等腰三角形．
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