试题

如图：在平面直角坐标系中，直线y=kx+3分别与x轴、y轴交于A、B两点，且OA=4，点C是x轴上一点，如果把△AOB沿着直线BC折叠，那么点A恰好落在y轴负半轴上的点D处．
（1）求直线AB的表达式；
（2）点D的坐标；
（3）求线段CD的长；
（4）求tan∠ABC的值．

解：（1）由OA=4得到：A（4，0），代入y=kx+3中得：
4k+3=0，解得：k=-

3

4

，
则直线AB的表达式为y=-

3

4

x+3；

（2）令x=0得：y=-

3

4

×0+3=3，故B（0，3），
则OB=3，又OA=4，根据勾股定理得：AB=5，
由折叠可知：△ABC≌△DBC，∴AB=BD=5，
∴OD=2，故点D坐标为（0，-2）；

（3）由折叠可知：△ABC≌△DBC，
∴∠BAO=∠BDC，
则tan∠BAO=tan∠BDC，即

BO

AO

=

OC

OD

，则OC=

3×2

4

=

3

2

，
在Rt△OCD中，CD=

OC2+OD2

=

5

2

．

（4）由折叠可知：△ABC≌△DBC，∠ABC=∠DBC，
则tan∠ABC=tan∠DBC=

OC

OB

=

3 2

3

=

1

2

．
解：（1）由OA=4得到：A（4，0），代入y=kx+3中得：
4k+3=0，解得：k=-

3

4

，
则直线AB的表达式为y=-

3

4

x+3；

（2）令x=0得：y=-

3

4

×0+3=3，故B（0，3），
则OB=3，又OA=4，根据勾股定理得：AB=5，
由折叠可知：△ABC≌△DBC，∴AB=BD=5，
∴OD=2，故点D坐标为（0，-2）；

（3）由折叠可知：△ABC≌△DBC，
∴∠BAO=∠BDC，
则tan∠BAO=tan∠BDC，即

BO

AO

=

OC

OD

，则OC=

3×2

4

=

3

2

，
在Rt△OCD中，CD=

OC2+OD2

=

5

2

．

（4）由折叠可知：△ABC≌△DBC，∠ABC=∠DBC，
则tan∠ABC=tan∠DBC=

OC

OB

=

3 2

3

=

1

2

．