试题

（2011·桐乡市一模）在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA=90°，CB=4，OA=8，AB=4

5

．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求点B的坐标；
（2）若D是线段OB上的点，OD=3DB，直线CD交x轴于E，求直线CD的解析式；
（3）若点P是（2）中直线CD上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）过B作BF⊥x轴于F，如图，
∵CB=4，OA=8，
∴AF=8-4=4，
在Rt△ABF中，AB=4

5

，
∴BF=

AB2-AF2

=8，
∴C点坐标为（0，8）
B点坐标为（4，8）；

（2）过D作DG⊥x轴于E，如图，
∴Rt△ODG∽Rt△OBF，
∴OD：OB=OG：OF=DG：BF，
而OD=3DB，即OD：OB=3：4，OF=4，BF=8，
∴OE=3，DG=6，
∴D点坐标为（3，6）；
设直线CD的解析式为y=kx+b，
把C（0，8）、D（3，6）代入得，b=8，3k+b=6，解得k=-

2

3

，b=8，
∴直线CD的解析式为y=-

2

3

x+8；

（3）存在．理由如下：
如图，
当OC为菱形的对角线，即P₁Q₁垂直平分OC，
∴P₁的纵坐标为4，
把y=4代入y=-

2

3

x+8解得x=6，
∴P₁的坐标为（6，4），
∴Q₁的坐标为（-6，4）；
当OC为菱形的边长，
∴P₂O=OC=Q₂P₂=8，P₂Q₂∥OC，
设P₂（a，b），则Q（a，b+8），
∴a²+b²=8²，b=-

2

3

a+8，解得a=

96

13

，b=

40

13

，
∴Q₂的坐标为（

96

13

，

144

13

）；
同样的方法可求出Q₃的坐标为（-

24 13

13

，

16 13

13

）；
所以满足条件的点Q的坐标为（-6，4）；（

96

13

，

144

13

）；（-

24 13

13

，

16 13

13

）．
解：（1）过B作BF⊥x轴于F，如图，
∵CB=4，OA=8，
∴AF=8-4=4，
在Rt△ABF中，AB=4

5

，
∴BF=

AB2-AF2

=8，
∴C点坐标为（0，8）
B点坐标为（4，8）；

（2）过D作DG⊥x轴于E，如图，
∴Rt△ODG∽Rt△OBF，
∴OD：OB=OG：OF=DG：BF，
而OD=3DB，即OD：OB=3：4，OF=4，BF=8，
∴OE=3，DG=6，
∴D点坐标为（3，6）；
设直线CD的解析式为y=kx+b，
把C（0，8）、D（3，6）代入得，b=8，3k+b=6，解得k=-

2

3

，b=8，
∴直线CD的解析式为y=-

2

3

x+8；

（3）存在．理由如下：
如图，
当OC为菱形的对角线，即P₁Q₁垂直平分OC，
∴P₁的纵坐标为4，
把y=4代入y=-

2

3

x+8解得x=6，
∴P₁的坐标为（6，4），
∴Q₁的坐标为（-6，4）；
当OC为菱形的边长，
∴P₂O=OC=Q₂P₂=8，P₂Q₂∥OC，
设P₂（a，b），则Q（a，b+8），
∴a²+b²=8²，b=-

2

3

a+8，解得a=

96

13

，b=

40

13

，
∴Q₂的坐标为（

96

13

，

144

13

）；
同样的方法可求出Q₃的坐标为（-

24 13

13

，

16 13

13

）；
所以满足条件的点Q的坐标为（-6，4）；（

96

13

，

144

13

）；（-

24 13

13

，

16 13

13

）．