试题

（2012·鞍山一模）如图，点C的坐标为（0，3），点A的坐标为（3

3

，0），点B在x轴上方且BA⊥x轴，tanB=

3

，过点C作CD⊥AB于D，点P是线段OA上一动点，PM∥AB交BC于点M，交CD于点Q，以PM为斜边向右作直角三角形PMN，∠MPN=30°，PN、MN的延长线交直线AB于E、F，设PO的长为x，EF的长为y．
（1）求线段PM的长（用x表示）；
（2）求点N落在直线AB上时x的值；
（3）求PE是线段MF的垂直平分线时直线PE的解析式；
（4）求y与x的函数关系式并写出相应的自变量x取值范围．

解：（1）∵点C的坐标为（0，3），点A的坐标为（3

3

，0），
∴OC=AD=3，OA=CD=3

3

，
∵CD⊥AB，tanB=

3

，
∴BD=

CD

tanB

=3，
∵PM∥AB，CD⊥AB，BA⊥x轴，
∴四边形OCQP是矩形，
∴OP=CQ=x，PQ=OC=3，
∴

MQ

BD

=

CQ

CD

，
即

MQ

3

=

x

3 3

，
∴MQ=

3

3

x，
∴PM=PQ+MQ=3+

3

3

x；

（2）∵∠PNM=90°，∠MPN=30°，
∴∠NPA=60°，
∴在Rt△NPA中，cos∠NPA=

PA

PN

=

1

2

，
∴PN=2PA=2（3

3

-x），
在Rt△PNM中，PN=PM·cos∠MPN=PM·cos30°=

3

2

PM=

3

2

（3+

3

3

x），
∴2（3

3

-x）=

3

2

（3+

3

3

x），
解得：x=

9 3

5

；

（3）设E（3

3

，m），
∵∠MPN=30°，
∴∠NPA=60°，
在Rt△EPA中，tan∠EPA=

AE

PA

=

m

3 3 -x

=

3

，
∴m=9-

3

x，
∴点E的坐标为：（3

3

，9-

3

x），
∵PE为MF的垂直平分线，PM∥EF，
∴MN：FN=PN：EN，
∴PN=EN，
∴点N的坐标为：（

3 3 +x

2

，

9- 3 x

2

），
过点N作NG⊥OA于G，
∴PG=

3 3 +x

2

-x=

3 3 -x

2

，
∴PN=2PG=3

3

-x，
∴PM=

PN

cos∠NPM

=

3 3 -x

3 2

=6-

2 3

3

x，
∴6-

2 3

3

x=3+

3

3

x，
解得：x=

3

，
∴点P的坐标为（

3

，0），点E的坐标为（3

3

，6），
设直线PE的解析式为：y=kx+b，
∴

3 k+b=0 3 3 k+b=6

，
解得：

k= 3 b=-3

，
∴直线PE的解析式为：y=

3

x-3；

 （4）过N作NG⊥x轴于G，
∵PN=PM·cos∠NPM=

3

2

PM，
∴NG=PN·sin∠NPM=

3

2

PN=

3

4

PM，PG=PN·cos∠NPG=

1

2

PN=

3

4

PM，
∴点N横坐标为

3

4

PM+x，点N的纵坐标为

3

4

PM，
∵PM∥EF，
∴△PNM∽△ENF，
∴EF：PM=AG：GP，
即

y

PM

=

3 3 -( 3 4 PM+x)

3 4 PM

，
整理得：y=12-PM-

4 3

3

x=12-（3+

3

3

x）-

4 3

3

x=9-

5 3

3

x，
x的取值范围为：（0＜x＜

9 3

5

）．
解：（1）∵点C的坐标为（0，3），点A的坐标为（3

3

，0），
∴OC=AD=3，OA=CD=3

3

，
∵CD⊥AB，tanB=

3

，
∴BD=

CD

tanB

=3，
∵PM∥AB，CD⊥AB，BA⊥x轴，
∴四边形OCQP是矩形，
∴OP=CQ=x，PQ=OC=3，
∴

MQ

BD

=

CQ

CD

，
即

MQ

3

=

x

3 3

，
∴MQ=

3

3

x，
∴PM=PQ+MQ=3+

3

3

x；

（2）∵∠PNM=90°，∠MPN=30°，
∴∠NPA=60°，
∴在Rt△NPA中，cos∠NPA=

PA

PN

=

1

2

，
∴PN=2PA=2（3

3

-x），
在Rt△PNM中，PN=PM·cos∠MPN=PM·cos30°=

3

2

PM=

3

2

（3+

3

3

x），
∴2（3

3

-x）=

3

2

（3+

3

3

x），
解得：x=

9 3

5

；

（3）设E（3

3

，m），
∵∠MPN=30°，
∴∠NPA=60°，
在Rt△EPA中，tan∠EPA=

AE

PA

=

m

3 3 -x

=

3

，
∴m=9-

3

x，
∴点E的坐标为：（3

3

，9-

3

x），
∵PE为MF的垂直平分线，PM∥EF，
∴MN：FN=PN：EN，
∴PN=EN，
∴点N的坐标为：（

3 3 +x

2

，

9- 3 x

2

），
过点N作NG⊥OA于G，
∴PG=

3 3 +x

2

-x=

3 3 -x

2

，
∴PN=2PG=3

3

-x，
∴PM=

PN

cos∠NPM

=

3 3 -x

3 2

=6-

2 3

3

x，
∴6-

2 3

3

x=3+

3

3

x，
解得：x=

3

，
∴点P的坐标为（

3

，0），点E的坐标为（3

3

，6），
设直线PE的解析式为：y=kx+b，
∴

3 k+b=0 3 3 k+b=6

，
解得：

k= 3 b=-3

，
∴直线PE的解析式为：y=

3

x-3；

 （4）过N作NG⊥x轴于G，
∵PN=PM·cos∠NPM=

3

2

PM，
∴NG=PN·sin∠NPM=

3

2

PN=

3

4

PM，PG=PN·cos∠NPG=

1

2

PN=

3

4

PM，
∴点N横坐标为

3

4

PM+x，点N的纵坐标为

3

4

PM，
∵PM∥EF，
∴△PNM∽△ENF，
∴EF：PM=AG：GP，
即

y

PM

=

3 3 -( 3 4 PM+x)

3 4 PM

，
整理得：y=12-PM-

4 3

3

x=12-（3+

3

3

x）-

4 3

3

x=9-

5 3

3

x，
x的取值范围为：（0＜x＜

9 3

5

）．