试题

（2012·岱岳区二模）如图，一次函数y=-

3

3

x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC．
（1）求△ABC的面积；
（2）如果在第二象限内有一点P（a，

1

2

），请用含a的式子表示四边形ABPO的面积，并求出当△ABP的面积与△ABC的面积相等时a的值．

解：（1）y=-

3

3

x+1与x轴、y轴交于A、B两点，
∴A（

3

，0），B（0，1）．
∵△AOB为直角三角形，
∴AB=2．
∴S_△ABC=

1

2

×2×sin60°=

3

．

（2）S_{四边形ABPO}=S_△ABO+S_△BOP=

1

2

×OA×OB+

1

2

×OB×h=

1

2

×

3

×1+

1

2

×1×|a|．
∵P在第二象限，∴S_{四边形ABPO}=

3

2

-

a

2

=

3 -a

2

，
S_△ABP=S_ABPO-S_△AOP=（

3

2

-

a

2

）-

1

2

×OA×

1

2

．
∴S_△ABP=

3

2

-

a

2

-

3

4

=

3

4

-

a

2

=S_△ABC=

3

．
∴a=-

3 3

2

．
解：（1）y=-

3

3

x+1与x轴、y轴交于A、B两点，
∴A（

3

，0），B（0，1）．
∵△AOB为直角三角形，
∴AB=2．
∴S_△ABC=

1

2

×2×sin60°=

3

．

（2）S_{四边形ABPO}=S_△ABO+S_△BOP=

1

2

×OA×OB+

1

2

×OB×h=

1

2

×

3

×1+

1

2

×1×|a|．
∵P在第二象限，∴S_{四边形ABPO}=

3

2

-

a

2

=

3 -a

2

，
S_△ABP=S_ABPO-S_△AOP=（

3

2

-

a

2

）-

1

2

×OA×

1

2

．
∴S_△ABP=

3

2

-

a

2

-

3

4

=

3

4

-

a

2

=S_△ABC=

3

．
∴a=-

3 3

2

．