试题

（2012·六合区一模）已知，点P（x，y）在第一象限，且x+y=12，点A（10，0）在x轴上，设△OPA的面积为S．
（1）求S关于x的关系式，并确定x的取值范围；
（2）当△OPA为直角三角形时，求P点的坐标．

解：（1）由 x+y=12得，y=-x+12．
即P（x，y）在y=-x+12的函数图象上，且在第一象限，
过点P作PB⊥x轴，垂足为B．
则 S_△OPA=

1

2

OA·PB=

1

2

·10·(-x+12)=-5x+60，且0＜x＜12；
（2）分情况讨论：
①若O为直角顶点，则点P在y轴上，不合题意舍去； 
②若A为直角顶点，则PA⊥x轴，所以点P的横坐标为10，代入y=-x+12中，得y=2，
所以点P坐标（10，2）；
③若P为直角顶点，可得△OPB∽△PAB．
∴

OB

PB

=

PB

AB

．
∴PB²=OB·AB．
∴（-x+12）²=x（10-x）．
解得

x

1

=8， x2=9．
∴点P坐标（8，4）或（9，3）．
∴当△OPA为直角三角形时，点P的坐标为（10，2）或（8，4）或（9，3）．
解：（1）由 x+y=12得，y=-x+12．
即P（x，y）在y=-x+12的函数图象上，且在第一象限，
过点P作PB⊥x轴，垂足为B．
则 S_△OPA=

1

2

OA·PB=

1

2

·10·(-x+12)=-5x+60，且0＜x＜12；
（2）分情况讨论：
①若O为直角顶点，则点P在y轴上，不合题意舍去； 
②若A为直角顶点，则PA⊥x轴，所以点P的横坐标为10，代入y=-x+12中，得y=2，
所以点P坐标（10，2）；
③若P为直角顶点，可得△OPB∽△PAB．
∴

OB

PB

=

PB

AB

．
∴PB²=OB·AB．
∴（-x+12）²=x（10-x）．
解得

x

1

=8， x2=9．
∴点P坐标（8，4）或（9，3）．
∴当△OPA为直角三角形时，点P的坐标为（10，2）或（8，4）或（9，3）．