试题

（2012·宁波一模）在正方形ABCD中，O是AD的中点，点P从A点出发沿A→B→C→D的路线匀速运动，移动到点D时停止．
（1）如图1，若正方形的边长为12，点P的运动速度为2单位长度/秒，设t秒时，正方形ABCD与∠POD重叠部分的面积为y．
①求当t=4，8，14时，y的值．
②求y关于t的函数解析式．
（2）如图2，若点Q从D出发沿D→C→B→A的路线匀速运动，移动到点A时停止．P、Q两点同时出发，点P的速度大于点Q的速度．设t秒时，正方形ABCD与∠POQ（包括边缘及内部）重叠部分的面积为S，S与t的函数图象如图3所示．
①P，Q两点在第秒相遇；正方形ABCD的边长是
②点P的速度为单位长度/秒；点Q的速度为单位长度/秒．
③当t为何值时，重叠部分面积S等于9？

解：（1）∵正方形ABCD的边长为12，∴S_{正方形ABCD}=12²=144．
∵O是AD的中点，∴OA=OD=6．
①（Ⅰ）当t=4时，如图1①．
∵AP=2×4=8，OA=6，
∴S_△OAP=

1

2

×AP×OA=24，
∴y=S_{正方形ABCD}-S_△OAP=144-24=120；
（Ⅱ）当t=8时，如图1②．
∵AB+BP=2×8=16，AB=12，
∴BP=4，∴CP=12-4=8，
∴y=

1

2

（OD+CP）×CD=

1

2

×（6+8）×12=84；
（Ⅲ）当t=14时，如图1③．
∵AB+BC+CP=2×14=28，AB=BC=CD=12，
∴DP=12×3-28=8，
∴y=S_△ODP=

1

2

×DP×OD=24；

②分三种情况：
（Ⅰ）当0≤t≤6时，点P在边AB上，如图1①．
∵AP=2t，OA=6，
∴S_△OAP=

1

2

×AP×6=6t，
∴y=S_{正方形ABCD}-S_△OAP=144-6t；
（Ⅱ）当6＜t≤12时，点P在边BC上，如图1②．
∵AB+BP=2t，AB=CD=12，
∴CP=24-2t，
∴y=

1

2

（OD+CP）×CD=

1

2

×（6+24-2t）×12=180-12t；
（Ⅲ）当12＜t≤18时，点P在边CD上，如图1③．
∵AB+BC+CP=2t，AB=BC=CD=12，
∴DP=36-2t，
∴y=S_△ODP=

1

2

×DP×OD=108-6t．
综上可知，y=

144-6t(0≤t≤6) 180-12t(6＜t≤12) 108-6t(12＜t≤18)

；

（2）①∵t=0时，S=S_{正方形ABCD}=16，
∴正方形ABCD的边长=4．
∵t=4时，S=0，
∴P，Q两点在第4秒相遇；
②∵S与t的函数图象由5段组成，
∴P，Q相遇于C点，
∵时间相同时，速度之比等于路程之比，而点P运动的路程=点Q运动的路程的2倍，
∴点P的速度=点Q的速度的2倍．
设点Q的速度为a单位长度/秒，则点P的速度为2a单位长度/秒．
∵t=4时，P，Q相遇于C点，正方形ABCD的边长为4，
∴4（a+2a）=4×3，
∴a=1．
故点P的速度为2单位长度/秒，点Q的速度为1单位长度/秒；

③∵正方形ABCD的边长为4，∴S_{正方形ABCD}=16．
∵O是AD的中点，∴OA=OD=2．
设t秒时，正方形ABCD与∠POQ（包括边缘及内部）重叠部分的面积S等于9．
分五种情况进行讨论：
（Ⅰ）当0≤t≤2时，点P在边AB上，点Q在边CD上，如图2①．
∵AP=2t，DQ=t，OA=OD=2，
∴S=S_{正方形ABCD}-S_△OAP-S_△ODQ=16-2t-t=16-3t，
∴16-3t=9，
解得t=

7

3

（不合题意，舍去）；
（Ⅱ）当2＜t≤4时，点P在边BC上，点Q在边CD上，如图2②．
∵AB+BP=2t，AB=4，∴BP=2t-4，
∵DQ=t，OA=OD=2，
∴S=S_{正方形ABCD}-S_梯形OABP-S_△ODQ=16-

1

2

×（2t-4+2）×4-

1

2

×2t=20-5t，
∴20-5t=9，
解得t=

11

5

；
（Ⅲ）当4＜t≤6时，点P在边CD上，点Q在边CB上，如图2③．
∵AB+BC+CP=2t，AB=BC=CD=4，∴DP=12-2t，
∵DC+CQ=t，∴BQ=8-t，
∴S=S_{正方形ABCD}-S_梯形OABQ-S_△ODP=16-

1

2

×（2+8-t）×4-

1

2

×2×（12-2t）=4t-16，
∴4t-16=9，
解得t=

25

4

（不合题意，舍去）；
（Ⅳ）当6＜t≤8时，点P与D点重合，点Q在边CB上，如图2④．
∵DC+CQ=t，DC=4，∴CQ=t-4，
∴S=S_梯形ODCQ=

1

2

×（t-4+2）×4=2t-4，
∴2t-4=9，
解得t=

13

2

；
（Ⅴ）当8＜t≤12时，点P与D点重合，点Q在边AB上，如图2⑤．
∵DC+CB+BQ=t，DC=CB=AB=4，∴AQ=12-t，
∴S=S_{正方形ABCD}-S_△OAQ=16-

1

2

×2×（12-t）=4+t，
∴4+t=9，
解得t=5（不合题意，舍去）．
综上可知，当t为

11

5

或

13

2

时，重叠部分面积S等于9．
故答案为：（2）①4，4；②2，1．