试题

（2013·海陵区模拟）已知直线y=-

3

4

x+6与x轴交于点B，与y轴交于点A．
（1）⊙P经过点O、A、B，试求点P的坐标；
（2）如图2，点Q为线段AB上一点，QM⊥OA、QN⊥OB，连结MN，试求△MON面积的最大值；
（3）在∠OAB内是否存在点E，使得点E到射线AO和AB的距离相等，且这个距离等于点E到x轴的距离的

2

3

？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）令x=0，y=6，令y=0，x=8，
∴A（0，6），B（8，0），
∵∠AOB=90°，
∴AB为⊙P直径，P为AB的中点，
∴点P（4，3）；

（2）设点Q（a，-

3

4

a+6），
△MON的面积=

1

2

a(-

3

4

a+6)=-

3

8

(a-4)2+6，
△MON的面积的最大值为6；

（3）假设存在点E（a，b）（a＞0），
∵点E到射线AO为a，点E到x轴的距离b，点E到射线AO和AB的距离相等，且这个距离等于点E到x轴的距离的

2

3

，
∴a=

2

3

|b|，
∴点E（a，

3

2

a），
∵点E到直线AB的距离为

1

5

|9a-24|，
∵点E到射线AO为a，
∴

1

5

|9a-24|=a，
解得a=

12

7

或b=6
当a=

12

7

时，b=

18

7

，
当a=6时，b=-9，
综上E（

12

7

，

18

7

)或（6，-9）．
解：（1）令x=0，y=6，令y=0，x=8，
∴A（0，6），B（8，0），
∵∠AOB=90°，
∴AB为⊙P直径，P为AB的中点，
∴点P（4，3）；

（2）设点Q（a，-

3

4

a+6），
△MON的面积=

1

2

a(-

3

4

a+6)=-

3

8

(a-4)2+6，
△MON的面积的最大值为6；

（3）假设存在点E（a，b）（a＞0），
∵点E到射线AO为a，点E到x轴的距离b，点E到射线AO和AB的距离相等，且这个距离等于点E到x轴的距离的

2

3

，
∴a=

2

3

|b|，
∴点E（a，

3

2

a），
∵点E到直线AB的距离为

1

5

|9a-24|，
∵点E到射线AO为a，
∴

1

5

|9a-24|=a，
解得a=

12

7

或b=6
当a=

12

7

时，b=

18

7

，
当a=6时，b=-9，
综上E（

12

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，

18

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)或（6，-9）．