试题

题目:
青果学院(2013·门头沟区二模)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知矩形ABCD的两个顶点B、C的坐标分别是B(1,0)、C(3,0).直线AC与y轴交于点G(0,6).动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动.同时动点 Q从点C出发,沿线段CD向点D运动.点P、Q的运动速度均为每秒1个单位,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.
(1)求直线AC的解析式;
(2)当t为何值时,△CQE的面积最大?最大值为多少?
(3)在动点P、Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使得以C、Q、E、H为顶点的四边形是菱形?
答案
青果学院解:(1)设直线AC的解析式为y=kx+b.
∵直线AC经过G(0,6)、C(3,0)两点,
b=6
3k+b=0.

解这个方程组,得
k=-2
b=6.

∴直线AC的解析式为y=-2x+6. 
(2)当x=1时,y=4.
∴A(1,4).
∵AP=CQ=t,
∴点P(1,4-t).
将y=4-t代入y=-2x+6中,得点E的横坐标为x=1+
t
2

∴点E到CD的距离为2-
t
2

∴S△CQE=
1
2
·t·(2-
t
2
)
=-
1
4
t2+t
=-
1
4
(t-2)2+1

∴当t=2时,S△CQE最大,最大值为1.
(3)过点E作FM∥DC,交AD于F,交BC于M.
当点H在点E的下方时,连结CH.
∵EM=4-t,
∴HM=4-2t.
OM=1+
t
2

CM=2-
t
2

∵四边形CQEH为菱形,
∴CH=CQ=t.
在Rt△HMC中,由勾股定理得CH2=HM2+CM2
t2=(4-2t)2+(2-
t
2
)2

整理得 13t2-72t+80=0.
解得 t1=
20
13
,t2=4(舍).
∴当t=
20
13
时,以C,Q,E,H为顶点的四边形是菱形.
当点H在点E的上方时,同理可得当t=20-8
5
时.以C,Q,E,H为顶点的四边形是菱形.
∴t的值是t=
20
13
t=20-8
5

青果学院解:(1)设直线AC的解析式为y=kx+b.
∵直线AC经过G(0,6)、C(3,0)两点,
b=6
3k+b=0.

解这个方程组,得
k=-2
b=6.

∴直线AC的解析式为y=-2x+6. 
(2)当x=1时,y=4.
∴A(1,4).
∵AP=CQ=t,
∴点P(1,4-t).
将y=4-t代入y=-2x+6中,得点E的横坐标为x=1+
t
2

∴点E到CD的距离为2-
t
2

∴S△CQE=
1
2
·t·(2-
t
2
)
=-
1
4
t2+t
=-
1
4
(t-2)2+1

∴当t=2时,S△CQE最大,最大值为1.
(3)过点E作FM∥DC,交AD于F,交BC于M.
当点H在点E的下方时,连结CH.
∵EM=4-t,
∴HM=4-2t.
OM=1+
t
2

CM=2-
t
2

∵四边形CQEH为菱形,
∴CH=CQ=t.
在Rt△HMC中,由勾股定理得CH2=HM2+CM2
t2=(4-2t)2+(2-
t
2
)2

整理得 13t2-72t+80=0.
解得 t1=
20
13
,t2=4(舍).
∴当t=
20
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时,以C,Q,E,H为顶点的四边形是菱形.
当点H在点E的上方时,同理可得当t=20-8
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时.以C,Q,E,H为顶点的四边形是菱形.
∴t的值是t=
20
13
t=20-8
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考点梳理
一次函数综合题.
(1)设直线AC的解析式为y=kx+b,将G(0,6)、C(3,0)两点代入,即可求出k、b的值,从而得到一次函数解析式.
(2)将△CQE的底和高用含x的代数式表示出来,列出关于x的二次函数解析式,求最值即可.
(3)求出CM的关于t的表达式,根据四边形CQEH为菱形求得H=CQ=t,再利用勾股定理求出t的值即可.
本题考查了一次函数综合题,包括待定系数法求一次函数解析式、二次函数最值、菱形的性质,难度较大.
综合题.
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