题目:

(2013·门头沟区二模)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知矩形ABCD的两个顶点B、C的坐标分别是B(1,0)、C(3,0).直线AC与y轴交于点G(0,6).动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动.同时动点 Q从点C出发,沿线段CD向点D运动.点P、Q的运动速度均为每秒1个单位,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.
(1)求直线AC的解析式;
(2)当t为何值时,△CQE的面积最大?最大值为多少?
(3)在动点P、Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使得以C、Q、E、H为顶点的四边形是菱形?
答案

解:(1)设直线AC的解析式为y=kx+b.
∵直线AC经过G(0,6)、C(3,0)两点,
∴
解这个方程组,得
∴直线AC的解析式为y=-2x+6.
(2)当x=1时,y=4.
∴A(1,4).
∵AP=CQ=t,
∴点P(1,4-t).
将y=4-t代入y=-2x+6中,得点E的横坐标为x=
1+.
∴点E到CD的距离为
2-.
∴S
△CQE=
·t·(2-)=
-t2+t=
-(t-2)2+1.
∴当t=2时,S
△CQE最大,最大值为1.
(3)过点E作FM∥DC,交AD于F,交BC于M.
当点H在点E的下方时,连结CH.
∵EM=4-t,
∴HM=4-2t.
∵
OM=1+,
∴
CM=2-.
∵四边形CQEH为菱形,
∴CH=CQ=t.
在Rt△HMC中,由勾股定理得CH
2=HM
2+CM
2.
∴
t2=(4-2t)2+(2-)2.
整理得 13t
2-72t+80=0.
解得
t1=,t
2=4(舍).
∴当
t=时,以C,Q,E,H为顶点的四边形是菱形.
当点H在点E的上方时,同理可得当
t=20-8时.以C,Q,E,H为顶点的四边形是菱形.
∴t的值是
t=或
t=20-8.

解:(1)设直线AC的解析式为y=kx+b.
∵直线AC经过G(0,6)、C(3,0)两点,
∴
解这个方程组,得
∴直线AC的解析式为y=-2x+6.
(2)当x=1时,y=4.
∴A(1,4).
∵AP=CQ=t,
∴点P(1,4-t).
将y=4-t代入y=-2x+6中,得点E的横坐标为x=
1+.
∴点E到CD的距离为
2-.
∴S
△CQE=
·t·(2-)=
-t2+t=
-(t-2)2+1.
∴当t=2时,S
△CQE最大,最大值为1.
(3)过点E作FM∥DC,交AD于F,交BC于M.
当点H在点E的下方时,连结CH.
∵EM=4-t,
∴HM=4-2t.
∵
OM=1+,
∴
CM=2-.
∵四边形CQEH为菱形,
∴CH=CQ=t.
在Rt△HMC中,由勾股定理得CH
2=HM
2+CM
2.
∴
t2=(4-2t)2+(2-)2.
整理得 13t
2-72t+80=0.
解得
t1=,t
2=4(舍).
∴当
t=时,以C,Q,E,H为顶点的四边形是菱形.
当点H在点E的上方时,同理可得当
t=20-8时.以C,Q,E,H为顶点的四边形是菱形.
∴t的值是
t=或
t=20-8.