试题

（2013·门头沟区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形ABCD的两个顶点B、C的坐标分别是B（1，0）、C（3，0）．直线AC与y轴交于点G（0，6）．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点 Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．
（1）求直线AC的解析式；
（2）当t为何值时，△CQE的面积最大？最大值为多少？
（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使得以C、Q、E、H为顶点的四边形是菱形？

解：（1）设直线AC的解析式为y=kx+b．
∵直线AC经过G（0，6）、C（3，0）两点，
∴

b=6 3k+b=0.

解这个方程组，得

k=-2 b=6.

∴直线AC的解析式为y=-2x+6． 
（2）当x=1时，y=4．
∴A（1，4）．
∵AP=CQ=t，
∴点P（1，4-t）．
将y=4-t代入y=-2x+6中，得点E的横坐标为x=1+

t

2

．
∴点E到CD的距离为2-

t

2

．
∴S_△CQE=

1

2

·t·(2-

t

2

)=-

1

4

t2+t=-

1

4

(t-2)2+1．
∴当t=2时，S_△CQE最大，最大值为1．
（3）过点E作FM∥DC，交AD于F，交BC于M．
当点H在点E的下方时，连结CH．
∵EM=4-t，
∴HM=4-2t．
∵OM=1+

t

2

，
∴CM=2-

t

2

．
∵四边形CQEH为菱形，
∴CH=CQ=t．
在Rt△HMC中，由勾股定理得CH²=HM²+CM²．
∴t2=(4-2t)2+(2-

t

2

)2．
整理得 13t²-72t+80=0．
解得 t1=

20

13

，t₂=4（舍）．
∴当t=

20

13

时，以C，Q，E，H为顶点的四边形是菱形．
当点H在点E的上方时，同理可得当t=20-8

5

时．以C，Q，E，H为顶点的四边形是菱形．
∴t的值是t=

20

13

或t=20-8

5

．
解：（1）设直线AC的解析式为y=kx+b．
∵直线AC经过G（0，6）、C（3，0）两点，
∴

b=6 3k+b=0.

解这个方程组，得

k=-2 b=6.

∴直线AC的解析式为y=-2x+6． 
（2）当x=1时，y=4．
∴A（1，4）．
∵AP=CQ=t，
∴点P（1，4-t）．
将y=4-t代入y=-2x+6中，得点E的横坐标为x=1+

t

2

．
∴点E到CD的距离为2-

t

2

．
∴S_△CQE=

1

2

·t·(2-

t

2

)=-

1

4

t2+t=-

1

4

(t-2)2+1．
∴当t=2时，S_△CQE最大，最大值为1．
（3）过点E作FM∥DC，交AD于F，交BC于M．
当点H在点E的下方时，连结CH．
∵EM=4-t，
∴HM=4-2t．
∵OM=1+

t

2

，
∴CM=2-

t

2

．
∵四边形CQEH为菱形，
∴CH=CQ=t．
在Rt△HMC中，由勾股定理得CH²=HM²+CM²．
∴t2=(4-2t)2+(2-

t

2

)2．
整理得 13t²-72t+80=0．
解得 t1=

20

13

，t₂=4（舍）．
∴当t=

20

13

时，以C，Q，E，H为顶点的四边形是菱形．
当点H在点E的上方时，同理可得当t=20-8

5

时．以C，Q，E，H为顶点的四边形是菱形．
∴t的值是t=

20

13

或t=20-8

5

．