试题

（2013·天桥区二模）如图，点A（1，0），B（0，

3

）分别在x轴和y轴上，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°．
（1）求直线AB的解析式及点C的坐标；
（2）若点P（m，

3

2

）为坐标平面内一点，使得△APB与△ABC面积相等，求m的值．

解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b则

k+b=0 b= 3

，
解得k=-

3

，b=

3

∴y=-

3

x+

3

，
作CD⊥x轴，垂足为D，
∵OA=1，OB=

3

，
∴AB=2
∵∠ABC=30°，
∴AC=

2 3

3

，
∵

OB

OA

=

3

，
∴∠OAB=60°，
∴∠CAD=30°
∴CD=

3

3

，AD=1，
∴C的坐标是(2，

3

3

)，

（2）如图，过点P作直线l∥x轴，交AB于点Q，则点Q的坐标是(

1

2

，

3

2

)
S_△ABC=

1

2

AB·AC=

1

2

×2×

2 3

3

=

2 3

3

，
S_△ABC=S_△APB，
∴

1

2

×PQ·OB=

2 3

3

，即

1

2

×PQ×

3

=

2 3

3

，
解得PQ=

4

3

，
∴|

1

2

-m|=

4

3

，
解得m₁=

11

6

，m₂=-

5

6

．
解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b则

k+b=0 b= 3

，
解得k=-

3

，b=

3

∴y=-

3

x+

3

，
作CD⊥x轴，垂足为D，
∵OA=1，OB=

3

，
∴AB=2
∵∠ABC=30°，
∴AC=

2 3

3

，
∵

OB

OA

=

3

，
∴∠OAB=60°，
∴∠CAD=30°
∴CD=

3

3

，AD=1，
∴C的坐标是(2，

3

3

)，

（2）如图，过点P作直线l∥x轴，交AB于点Q，则点Q的坐标是(

1

2

，

3

2

)
S_△ABC=

1

2

AB·AC=

1

2

×2×

2 3

3

=

2 3

3

，
S_△ABC=S_△APB，
∴

1

2

×PQ·OB=

2 3

3

，即

1

2

×PQ×

3

=

2 3

3

，
解得PQ=

4

3

，
∴|

1

2

-m|=

4

3

，
解得m₁=

11

6

，m₂=-

5

6

．