试题

如图，△OAB是边长为2+

3

的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴的正方向上，将△OAB折叠，使点A落在OB边上，记为A′，折痕为EF．
（1）当A′E∥x轴时，求点A'的坐标和直线A′F所对应的函数关系式；
（2）在OB上是否存在点A′，使四边形AFA′E是菱形？若存在，请求出此时点A′的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点A′在OB上运动但不与点O、B重合，能否使△A′EF成为直角三角形？若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由．

解：（1）设过点A′、F的直线为y=ax+b（a≠0）．
∵△OAB是等边三角形，
∴由已知可得∠A′OE=60°；
又∵将△OAB折叠，使点A落在OB边上，记为A′，折痕为EF，
∴A′E=AE，∠FA′E=∠A=60°；
∵A′E∥x，
∴A′E⊥OB，
∴tan∠FA′E=

3

；
故设直线A′F的解析式为y=

3

x+b，A′的坐标为（0，t）；
∵AE=A′E=

3

t，OE=2t，
∴

3

t+2t=2+

3

，
解得，t=1，
∴点A′的坐标为（0，1）；
∴1=

3

×0+b，
解得，b=1，
∴直线A′F的解析式为y=

3

x+1；

（2）在OB上存在点A′，使四边形AFA′E是菱形；理由如下：
∵△OAB是等边三角形，
∠BOA=∠A=∠OBA=60°；
又∵四边形AFA′E是菱形，
∴A′F∥A′E，
∴∠BA′F=∠BOA=60°（两直线平行，同位角相等），
∴△BA′F是等边三角形，
∴BA′=A′F；
易证△A′OE为等边三角形，
∴OA′=A′E；
∵A′F=A′E（菱形的邻边相等），
∴A′B=OA′（等量代换），
∴A′（0，1+

3

2

）；

（3）不可能使△A′EF成为直角三角形．
理由如下：
∵∠FA′E=∠FAE=60°，
若△A′EF成为直角三角形，只能是∠A′EF=90°或∠A′FE=90°
若∠A′EF=90°，利用对称性，则∠AEF=90°，
A、E、A三点共线，O与A重合，与已知矛盾；
同理若∠A′FE=90°也不可能，
所以不能使△A′EF成为直角三角形．
解：（1）设过点A′、F的直线为y=ax+b（a≠0）．
∵△OAB是等边三角形，
∴由已知可得∠A′OE=60°；
又∵将△OAB折叠，使点A落在OB边上，记为A′，折痕为EF，
∴A′E=AE，∠FA′E=∠A=60°；
∵A′E∥x，
∴A′E⊥OB，
∴tan∠FA′E=

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；
故设直线A′F的解析式为y=

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x+b，A′的坐标为（0，t）；
∵AE=A′E=

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t，OE=2t，
∴

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t+2t=2+

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，
解得，t=1，
∴点A′的坐标为（0，1）；
∴1=

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×0+b，
解得，b=1，
∴直线A′F的解析式为y=

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x+1；

（2）在OB上存在点A′，使四边形AFA′E是菱形；理由如下：
∵△OAB是等边三角形，
∠BOA=∠A=∠OBA=60°；
又∵四边形AFA′E是菱形，
∴A′F∥A′E，
∴∠BA′F=∠BOA=60°（两直线平行，同位角相等），
∴△BA′F是等边三角形，
∴BA′=A′F；
易证△A′OE为等边三角形，
∴OA′=A′E；
∵A′F=A′E（菱形的邻边相等），
∴A′B=OA′（等量代换），
∴A′（0，1+

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2

）；

（3）不可能使△A′EF成为直角三角形．
理由如下：
∵∠FA′E=∠FAE=60°，
若△A′EF成为直角三角形，只能是∠A′EF=90°或∠A′FE=90°
若∠A′EF=90°，利用对称性，则∠AEF=90°，
A、E、A三点共线，O与A重合，与已知矛盾；
同理若∠A′FE=90°也不可能，
所以不能使△A′EF成为直角三角形．