试题

如图，在平面直角坐标系中，以（1，0）为圆心的⊙P与y轴相切于原点O，过点A（-1，0）的直线AB与⊙P相切于点B．
（1）求AB的长；
（2）求AB、OA与

OB

所围成的阴影部分面积（不取近似值）；
（3）求直线AB的解析式；
（4）直线AB上是否存在点M，使OM+PM的值最小？如果存在，请求出点M的坐标；如果不存在，请说理．

解：（1）连接PB
∵点A、P的坐标分别为（-1，0）、（1，0），
∴OA=OP=1，
∴PA=2．
∵直线AB与⊙P相切于点B，
∴PB⊥AB，
∴∠ABP=90°
又∵⊙P与y轴相切于原点O，
∴PB=OP=1，
∴AB=

AP2-BP2

=

22-12

=

3

；

（2）连接OB
∵∠ABP=90°，OA=OP，
∴OB=OP=

1

2

AP，
又∵PB=OP，
∴PB=OP=OB，
∴∠OPB=60°，
∴S_阴影=S_△ABP-S_扇形POB
=

1

2

×

3

×1-

60×12π

360

=

3

2

-

π

6

=

3 3 -π

6

；

（3）设直线AB与y轴相交于点C
∵∠OPB=60°，∠ABP=90°，
∴∠BAP=180°-60°-90°=30°，
∴在Rt△OAC中，OC=

1

2

AC，
设OC=x，则AC=2x，
依题意得（2x）²=x²+1²，
解得x=±

3

3

，
∵x＞0，
∴x=

3

3

；
∴点C坐标为（0，

3

3

），
可设直线AB的解析式为y=kx+

3

3

（k≠0），
∵直线AB过点A（-1，0），
∴-1·k+

3

3

=0，
∴k=

3

3

；
∴直线AB的解析式为y=

3

3

x+

3

3

；

（4）延长PB交y轴于点N
在Rt△OPN中，∠ONP=180°-60°-90°=30°，
∴PN=2PO=1×2=2，
∴BN=PN-PB=1=PB；
又∵PB⊥AB，
∴直线AB是线段PN的垂直平分线，点P、N关于直线AB成轴对称
∴ON与直线AB的交点C就是所求的点M．
故直线AB上存在点M，使OM+PM的值最小，点M即点C（0，

3

3

）．
解：（1）连接PB
∵点A、P的坐标分别为（-1，0）、（1，0），
∴OA=OP=1，
∴PA=2．
∵直线AB与⊙P相切于点B，
∴PB⊥AB，
∴∠ABP=90°
又∵⊙P与y轴相切于原点O，
∴PB=OP=1，
∴AB=

AP2-BP2

=

22-12

=

3

；

（2）连接OB
∵∠ABP=90°，OA=OP，
∴OB=OP=

1

2

AP，
又∵PB=OP，
∴PB=OP=OB，
∴∠OPB=60°，
∴S_阴影=S_△ABP-S_扇形POB
=

1

2

×

3

×1-

60×12π

360

=

3

2

-

π

6

=

3 3 -π

6

；

（3）设直线AB与y轴相交于点C
∵∠OPB=60°，∠ABP=90°，
∴∠BAP=180°-60°-90°=30°，
∴在Rt△OAC中，OC=

1

2

AC，
设OC=x，则AC=2x，
依题意得（2x）²=x²+1²，
解得x=±

3

3

，
∵x＞0，
∴x=

3

3

；
∴点C坐标为（0，

3

3

），
可设直线AB的解析式为y=kx+

3

3

（k≠0），
∵直线AB过点A（-1，0），
∴-1·k+

3

3

=0，
∴k=

3

3

；
∴直线AB的解析式为y=

3

3

x+

3

3

；

（4）延长PB交y轴于点N
在Rt△OPN中，∠ONP=180°-60°-90°=30°，
∴PN=2PO=1×2=2，
∴BN=PN-PB=1=PB；
又∵PB⊥AB，
∴直线AB是线段PN的垂直平分线，点P、N关于直线AB成轴对称
∴ON与直线AB的交点C就是所求的点M．
故直线AB上存在点M，使OM+PM的值最小，点M即点C（0，

3

3

）．