试题

如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．OA、OB的长度分别为a和b，且满足a²-2ab+b²=0．
（1）判断△AOB的形状．
（2）如图②，正比例函数y=kx（k＜0）的图象与直线AB交于点Q，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=9，BN=4，求MN的长．
（3）如图③，E为AB上一动点，以AE为斜边作等腰直角△ADE，P为BE的中点，连接PD、PO，试问：线段PD、PO是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明．

解：（1）等腰直角三角形．
∵a²-2ab+b²=0，
∴（a-b）²=0，
∴a=b，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB为等腰直角三角形；

（2）∵∠MOA+∠MAO=90°，∠MOA+∠MOB=90°，
∴∠MAO=∠MOB，
∵AM⊥OQ，BN⊥OQ，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
在△MAO和△BON中，

∠MAO=∠MOB ∠AMO=∠BNO OA=OB

，
∴△MAO≌△NOB，
∴OM=BN，AM=ON，OM=BN，
∴MN=ON-OM=AM-BN=5；

（3）PO=PD且PO⊥PD，
如图，延长DP到点C，使DP=PC，连接CP、OD、OC、BC，

在△DEP和△CBP，

DP=PC ∠DPE=∠CPB PE=PB

．
∴△DEP≌△CBP，
∴CB=DE=DA，∠DEP=∠CBP=135°，
则∠CBO=∠CBP-∠ABO=135°-45°=90°，
又∵∠BAO=45°，∠DAE=45°，
∴∠DAO=90°，
在△OAD和△OBC，

DA=CB ∠DAO=∠CBO OA=OB

，
∴△OAD≌△OBC，
∴OD=OC，∠AOD=∠COB，
∴△DOC为等腰直角三角形，
∴PO=PD，且PO⊥PD．
解：（1）等腰直角三角形．
∵a²-2ab+b²=0，
∴（a-b）²=0，
∴a=b，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB为等腰直角三角形；

（2）∵∠MOA+∠MAO=90°，∠MOA+∠MOB=90°，
∴∠MAO=∠MOB，
∵AM⊥OQ，BN⊥OQ，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
在△MAO和△BON中，

∠MAO=∠MOB ∠AMO=∠BNO OA=OB

，
∴△MAO≌△NOB，
∴OM=BN，AM=ON，OM=BN，
∴MN=ON-OM=AM-BN=5；

（3）PO=PD且PO⊥PD，
如图，延长DP到点C，使DP=PC，连接CP、OD、OC、BC，

在△DEP和△CBP，

DP=PC ∠DPE=∠CPB PE=PB

．
∴△DEP≌△CBP，
∴CB=DE=DA，∠DEP=∠CBP=135°，
则∠CBO=∠CBP-∠ABO=135°-45°=90°，
又∵∠BAO=45°，∠DAE=45°，
∴∠DAO=90°，
在△OAD和△OBC，

DA=CB ∠DAO=∠CBO OA=OB

，
∴△OAD≌△OBC，
∴OD=OC，∠AOD=∠COB，
∴△DOC为等腰直角三角形，
∴PO=PD，且PO⊥PD．