试题

（2013·永春县质检）如图，在矩形OABC中，点A、C的坐标分别是（a，0），（0，

3

），点D是线段BC上的动点（与B、C不重合），过点D作直线l：y=-

3

x+b交线段OA于点E．
（1）直接写出矩形OABC的面积（用含a的代数式表示）；
（2）已知a=3，当直线l将矩形OABC分成周长相等的两部分时
①求b的值；
②梯形ABDE的内部有一点P，当⊙P与AB、AE、ED都相切时，求⊙P的半径．
（3）已知a=5，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O₁A₁B₁C₁，设CD=k，当k满足什么条件时，使矩形OABC和四边形O₁A₁B₁C₁的重叠部分的面积为定值，并求出该定值．

解：（1）∵A、C的坐标分别是（a，0），（0，

3

），
∴OA=

3

，OA=a，
则矩形OABC的面积是

3

a；
（2）①直线l将矩形OABC分成周长相等的两部分，
∴CD+OE=DB+EA，
D（

b- 3

3

，

3

），E（

b

3

，0），
∴

2b- 3

3

=6-

2b- 3

3

，b=2

3

；
②D（1，

3

）、E（2，0），
连接BE，

tan∠BEA=tan∠DEO=

3

，
DEO=60°
∴∠BEA=∠BED，
∵⊙P与AB、AE、ED都相切，
∴圆心P必在BE上，
过P作PF⊥OA，垂足为F，
∴△EPF∽△EBA，
∴

PF

BA

=

EF

EA

，
设⊙P的半径为r，

r

3

=

1-r

1

，
∴r=

3- 3

2

；
（3）由题意知，DM∥NE，DN∥ME，
∴四边形DNEM为平行四边形，
根据轴对称知，∠MED=∠NED，
又∠MDE=∠NED，
∴∠MED=∠MDE，
∴MD=ME，
∴平行四边形DNEM为菱形．
当N与O重合时，CD=1，
当M与B重合时，CD=3，
∴当1≤k≤3时重叠部分的面积为定值．
过点D作DH⊥OA，垂足为H，
由题意知，tan∠DEN=

3

，DH=

3

，
∴HE=1，
设菱形DNEM的边长为a，
则在Rt△DHN中，由勾股定理知，
a²=（a-1）²+（

3

）²
a=2，
∴S_{四边形DNEM}=NE·DH=2

3

；
∴该定值为2

3

．

解：（1）∵A、C的坐标分别是（a，0），（0，

3

），
∴OA=

3

，OA=a，
则矩形OABC的面积是

3

a；
（2）①直线l将矩形OABC分成周长相等的两部分，
∴CD+OE=DB+EA，
D（

b- 3

3

，

3

），E（

b

3

，0），
∴

2b- 3

3

=6-

2b- 3

3

，b=2

3

；
②D（1，

3

）、E（2，0），
连接BE，

tan∠BEA=tan∠DEO=

3

，
DEO=60°
∴∠BEA=∠BED，
∵⊙P与AB、AE、ED都相切，
∴圆心P必在BE上，
过P作PF⊥OA，垂足为F，
∴△EPF∽△EBA，
∴

PF

BA

=

EF

EA

，
设⊙P的半径为r，

r

3

=

1-r

1

，
∴r=

3- 3

2

；
（3）由题意知，DM∥NE，DN∥ME，
∴四边形DNEM为平行四边形，
根据轴对称知，∠MED=∠NED，
又∠MDE=∠NED，
∴∠MED=∠MDE，
∴MD=ME，
∴平行四边形DNEM为菱形．
当N与O重合时，CD=1，
当M与B重合时，CD=3，
∴当1≤k≤3时重叠部分的面积为定值．
过点D作DH⊥OA，垂足为H，
由题意知，tan∠DEN=

3

，DH=

3

，
∴HE=1，
设菱形DNEM的边长为a，
则在Rt△DHN中，由勾股定理知，
a²=（a-1）²+（

3

）²
a=2，
∴S_{四边形DNEM}=NE·DH=2

3

；
∴该定值为2

3

．