试题

（2002·包头）如图，直线y=-

1

2

x+4与x轴、y轴分别交于C、D，以OD为直径作⊙A交CD于F，FA的延长线交⊙A于E，交x轴于B．
（1）设F（a，b），求以a，b为根的一元二次方程；
（2）求BE的长．

解：（1）过F作EH⊥BC，H为垂足，连接OF，由直线方程得，OD=4，OC=8，CD=4

5

，
∵∠OFD为直径OD所对圆周角，
∴OF⊥DC，OF=

OD·OC

DC

=

8

5

5

，
在Rt△OFC中，FC=

OC2-OF2

=

16

5

5

，FH=

OF×FC

OC

=

16

5

，OH=

OF2-FH2

=

8

5

，
∴a=

8

5

，b=

16

5

，
∴所求方程为x²-

24

5

x+

128

25

=0；

（2）∵在Rt△BAO和Rt△BFH中，∠B为公共角，
∴Rt△BAO∽Rt△BFH，
∴

BA

BF

=

AO

FH

，

BE+2

BE+4

=

2

16 5

=

5

8

，
∴BE=

4

3

．
解：（1）过F作EH⊥BC，H为垂足，连接OF，由直线方程得，OD=4，OC=8，CD=4

5

，
∵∠OFD为直径OD所对圆周角，
∴OF⊥DC，OF=

OD·OC

DC

=

8

5

5

，
在Rt△OFC中，FC=

OC2-OF2

=

16

5

5

，FH=

OF×FC

OC

=

16

5

，OH=

OF2-FH2

=

8

5

，
∴a=

8

5

，b=

16

5

，
∴所求方程为x²-

24

5

x+

128

25

=0；

（2）∵在Rt△BAO和Rt△BFH中，∠B为公共角，
∴Rt△BAO∽Rt△BFH，
∴

BA

BF

=

AO

FH

，

BE+2

BE+4

=

2

16 5

=

5

8

，
∴BE=

4

3

．