试题

（2003·常州）如图，直线OC、BC的函数关系式分别为y=x和y=-2x+6，动点P（x，0）在OB上移动（0＜x＜3），过点P作直线l与x轴垂直．
（1）求点C的坐标；
（2）设△OBC中位于直线l左侧部分的面积为s，写出s与x之间的函数关系式；
（3）在直角坐标系中画出（2）中函数的图象；
（4）当x为何值时，直线l平分△OBC的面积？

解：（1）解方程组

y=x y=-2x+6

，
消去y得：-2x+6=x，解得x=2，
把x=2代入y=x得：y=2，
所以

x=2 y=2

，
则C点的坐标是（2，2）．

（2）过点C作CD⊥x轴于D，
当0＜x≤2时，设直线l与OC交于点M，
则

PM

CD

=

OP

OD

，即

PM

2

=

x

2

，
则PM=x，
则S=

1

2

OP·PM=

1

2

x²；
当2＜x＜3时，△ODC的面积是

1

2

×2×2=2，
∵OP=x，OD=2，则PD=x-2，CD=2，PN=-2x+6，
则梯形PNCD的面积为

1

2

×（-2x+6+2）×（x-2）=（-x+4）（x-2），
因而函数解析式是s=2+（-x+4）（x-2）=-x²+6x-6；

（4）当0＜x≤2时，解方程

1

2

x²=

3

2

，解得x=

3

，
当2＜x＜3时，（3-x）²=

3

2

，
解得x=

6- 6

2

（舍去），x=

6+ 6

2

（舍去）．
总之，当x=

3

时，直线l平分△OBC的面积．
解：（1）解方程组

y=x y=-2x+6

，
消去y得：-2x+6=x，解得x=2，
把x=2代入y=x得：y=2，
所以

x=2 y=2

，
则C点的坐标是（2，2）．

（2）过点C作CD⊥x轴于D，
当0＜x≤2时，设直线l与OC交于点M，
则

PM

CD

=

OP

OD

，即

PM

2

=

x

2

，
则PM=x，
则S=

1

2

OP·PM=

1

2

x²；
当2＜x＜3时，△ODC的面积是

1

2

×2×2=2，
∵OP=x，OD=2，则PD=x-2，CD=2，PN=-2x+6，
则梯形PNCD的面积为

1

2

×（-2x+6+2）×（x-2）=（-x+4）（x-2），
因而函数解析式是s=2+（-x+4）（x-2）=-x²+6x-6；

（4）当0＜x≤2时，解方程

1

2

x²=

3

2

，解得x=

3

，
当2＜x＜3时，（3-x）²=

3

2

，
解得x=

6- 6

2

（舍去），x=

6+ 6

2

（舍去）．
总之，当x=

3

时，直线l平分△OBC的面积．