试题

（2003·荆州）已知：如图，直线y=

3

3

x+

3

与x轴、y轴分别交于A、B两点，圆M经过原点及A、B两点．
（1）求线段OA、OB长；
（2）C是圆M上一点，连接OC，若OC∥AB，写出经过O、C、A三点的二次函数解析式；
（3）若延长CO到E，使OE=CO，连接BE，试说明点E与点M关于y轴对称．

解：（1）在y=

3

3

x+

3

中，
令x=0解得y=

3

，
令y=0，解得x=-3，
因而A，B的坐标是A（-3，0），B（0，

3

），
则OA=3，OB=

3

；

（2）连接OM，
在直角△AOB中，tan∠BAO=

OB

OA

=

3

3

，AB=2

3

，
∴∠BAO=30°，
∵AB∥OC，
∴∠AOC=∠BAO=30°，
同理，∠MOA=30°，
∴∠MOC=60°，则△MOC是等边三角形，
∴MC∥OB，C点的坐标是（-

3

2

，-

3

2

），
设二次函数的解析式是y=a（x+

3

2

）²-

3

2

，
把（0，0）代入解得：a=

2 3

9

，
则函数的解析式是y=

2 3

9

（x+

3

2

）²-

3

2

；

（3）延长CO到E，使OE=CO，则E点与C关于原点对称，因而E的坐标是（

3

2

，

3

2

），
点M的坐标是（-

3

2

，

3

2

），因而E与点M关于y轴对称．
解：（1）在y=

3

3

x+

3

中，
令x=0解得y=

3

，
令y=0，解得x=-3，
因而A，B的坐标是A（-3，0），B（0，

3

），
则OA=3，OB=

3

；

（2）连接OM，
在直角△AOB中，tan∠BAO=

OB

OA

=

3

3

，AB=2

3

，
∴∠BAO=30°，
∵AB∥OC，
∴∠AOC=∠BAO=30°，
同理，∠MOA=30°，
∴∠MOC=60°，则△MOC是等边三角形，
∴MC∥OB，C点的坐标是（-

3

2

，-

3

2

），
设二次函数的解析式是y=a（x+

3

2

）²-

3

2

，
把（0，0）代入解得：a=

2 3

9

，
则函数的解析式是y=

2 3

9

（x+

3

2

）²-

3

2

；

（3）延长CO到E，使OE=CO，则E点与C关于原点对称，因而E的坐标是（

3

2

，

3

2

），
点M的坐标是（-

3

2

，

3

2

），因而E与点M关于y轴对称．