试题

（2005·盐城）已知：如图所示，直线l的解析式为y=

3

4

x-3，并且与x轴、y轴分别相交于点A、B．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）一个圆心在坐标原点、半径为1的圆，以0.4个单位/每秒的速度向x轴正方向运动，问什么时刻该圆与直线l相切；
（3）在题（2）中，若在圆开始运动的同时，一动点P从B点出发，沿BA方向以0.5个单位/秒的速度运动，问在整个运动的过程中，点P在动圆的园面（圆上和圆的内部）上一共运动了多长时间？

解：（1）在y=

3

4

x-3中，令x=0，得y=-3；令y=0，得x=4，故得A、B两的坐标为
A（4，0），B（0，-3）．                                               （2分）

（2）若动圆的圆心在C处时与直线l相切，设切点为D，如图所示．
连接CD，则CD⊥AD．                                                    （3分）
由∠CAD=∠BAO，∠CDA=∠BOA=90°，可知Rt△ACD∽Rt△ABO，
∴

CD

BO

=

AC

AB

，即

1

3

=

AC

5

，则AC=

5

3

．                                 （4分）
此时OC=4-

5

3

=

7

3

，t=

s

v

=

7

3

÷0.4=

35

6

（秒）．                       （5分）
根据对称性，圆C还可能在直线l的右侧，与直线l相切，
此时OC=4+

5

3

=

17

3

．                                                  （7分）
t=

s

v

=

17

3

÷0.4=

85

6

（秒）．
答：（略）．                                                           （8分）

（3）设在t秒，动圆的圆心在F点处，动点在P处，此时OF=0.4t，BP=0.5t，F点的坐标为（0.4t，0），连接PF，
∵

OF

BP

=

0.4t

0.5t

=

4

5

，又

OA

BA

=

4

5

，
∴

OF

BP

=

OA

BA

，
∴FP∥OB，∴PF⊥OA（9分）
∴P点的横坐标为0.4t，
又∵P点在直线AB上，
∴P点的纵坐标为0.3t-3，
可见：当PF=1时，P点在动圆上，当0≤PF＜1时，P点在动圆内．               （10分）
当PF=1时，由对称性可知，有两种情况：
①当P点在x轴下方时，PF=-（0.3t-3）=1，解之得：t=

20

3

；
②当P点在x轴上方时，PF=0.3t-3=1，解之得：t=

40

3

．                      （11分）
∴当时

20

3

≤t≤

40

3

时，0≤PF≤1，此时点P在动圆的圆面上，所经过的时间为

40

3

-

20

3

=

20

3

，
答：动点在动圆的圆面上共经过了

20

3

秒．                                  （12分）
解：（1）在y=

3

4

x-3中，令x=0，得y=-3；令y=0，得x=4，故得A、B两的坐标为
A（4，0），B（0，-3）．                                               （2分）

（2）若动圆的圆心在C处时与直线l相切，设切点为D，如图所示．
连接CD，则CD⊥AD．                                                    （3分）
由∠CAD=∠BAO，∠CDA=∠BOA=90°，可知Rt△ACD∽Rt△ABO，
∴

CD

BO

=

AC

AB

，即

1

3

=

AC

5

，则AC=

5

3

．                                 （4分）
此时OC=4-

5

3

=

7

3

，t=

s

v

=

7

3

÷0.4=

35

6

（秒）．                       （5分）
根据对称性，圆C还可能在直线l的右侧，与直线l相切，
此时OC=4+

5

3

=

17

3

．                                                  （7分）
t=

s

v

=

17

3

÷0.4=

85

6

（秒）．
答：（略）．                                                           （8分）

（3）设在t秒，动圆的圆心在F点处，动点在P处，此时OF=0.4t，BP=0.5t，F点的坐标为（0.4t，0），连接PF，
∵

OF

BP

=

0.4t

0.5t

=

4

5

，又

OA

BA

=

4

5

，
∴

OF

BP

=

OA

BA

，
∴FP∥OB，∴PF⊥OA（9分）
∴P点的横坐标为0.4t，
又∵P点在直线AB上，
∴P点的纵坐标为0.3t-3，
可见：当PF=1时，P点在动圆上，当0≤PF＜1时，P点在动圆内．               （10分）
当PF=1时，由对称性可知，有两种情况：
①当P点在x轴下方时，PF=-（0.3t-3）=1，解之得：t=

20

3

；
②当P点在x轴上方时，PF=0.3t-3=1，解之得：t=

40

3

．                      （11分）
∴当时

20

3

≤t≤

40

3

时，0≤PF≤1，此时点P在动圆的圆面上，所经过的时间为

40

3

-

20

3

=

20

3

，
答：动点在动圆的圆面上共经过了

20

3

秒．                                  （12分）