试题

（2006·崇左）如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴交于A，B两点，AC是⊙M的直径，过点C的直线交x轴于点D，连接BC，已知点M的坐标为(0，

3

)，直线CD的函数解析式为y=-

3

x+5

3

．
（1）求点D的坐标和BC的长；
（2）求点C的坐标和⊙M的半径；
（3）求证：CD是⊙M的切线．

（1）解：∵点M的坐标为(0，

3

)，直线CD的函数解析式为y=-

3

x+5

3

，D在x轴上，
∴OM=

3

，D（5，0）；
∵过圆心M的直径⊥AB，AC是直径，
∴OA=OB，AM=MC，∠ABC=90°，
∴OM=

1

2

BC，
∴BC=2

3

．

（2）解：∵BC=2

3

，
∴设C（x，2

3

）；
∵直线CD的函数解析式为y=-

3

x+5

3

，
∴y=-

3

x+5

3

=2

3

，
∴x=3，即C（3，2

3

），
∵CB⊥x轴，OB=3，
∴AO=3，AB=6，AC=

AB2+BC2

=4

3

，
即⊙M的半径为2

3

．

（3）证明：∵BD=5-3=2，BC=2

3

，CD=

CB2+BD2

=4，
AC=4

3

，AD=8，CD=4，
∴

AD

CD

=

CD

BD

=

AC

BC

，
∴△ACD∽△CBD，
∴∠CBD=∠ACD=90°；
∵AC是直径，
∴CD是⊙M的切线．
（1）解：∵点M的坐标为(0，

3

)，直线CD的函数解析式为y=-

3

x+5

3

，D在x轴上，
∴OM=

3

，D（5，0）；
∵过圆心M的直径⊥AB，AC是直径，
∴OA=OB，AM=MC，∠ABC=90°，
∴OM=

1

2

BC，
∴BC=2

3

．

（2）解：∵BC=2

3

，
∴设C（x，2

3

）；
∵直线CD的函数解析式为y=-

3

x+5

3

，
∴y=-

3

x+5

3

=2

3

，
∴x=3，即C（3，2

3

），
∵CB⊥x轴，OB=3，
∴AO=3，AB=6，AC=

AB2+BC2

=4

3

，
即⊙M的半径为2

3

．

（3）证明：∵BD=5-3=2，BC=2

3

，CD=

CB2+BD2

=4，
AC=4

3

，AD=8，CD=4，
∴

AD

CD

=

CD

BD

=

AC

BC

，
∴△ACD∽△CBD，
∴∠CBD=∠ACD=90°；
∵AC是直径，
∴CD是⊙M的切线．