试题

如图，一次函数y=-x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P，Q分别从A、B两点同时出发，以相等的速度作直线运动．已知点P沿射线AO运动，点Q沿线段OB的延长线运动，PQ与AB的所在直线相交于点D．
（1）若AP=1时，请验证D点是否是线段AB的中点；
（2）若AP=x，△PQB的面积为y，请直接写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（3）过P作PE⊥AB于E，有人认为当P、Q运动时，线段DE的长度始终保持不变，你认为正确吗？请说明理由．

解：（1）当AP=1时，D不是线段AB的中点，
理由是：∵一次函数y=-x+2交x轴于A，交y轴于B，
∴把x=0代入得：y=2，
把y=0代入得：x=2，
∴OA=OB=2，
∵AP=BQ=1，
∴OP=2-1=1，OQ=2+1=3，
则Q（0，3），P（1，0），
设直线PQ的解析式是y=kx+3，
把P的坐标代入得：0=k+3，
k=-3，
∴y=-3x+3，
即

y=-x+2 y=-3x+3

，
解得：x=

1

2

，y=

3

2

，
即D的坐标是（

1

2

，

3

2

），
过D作DH⊥OA于H，
则DH=

3

2

，OH=

1

2

，AH=2-

1

2

=

3

2

，
∴OH和AH不相等（H不是OA中点），
∴D不是AB中点；

（2）①当0≤x≤2时，
∵AP=x，OP=2-x，BQ=x，
∴y=

1

2

BQ×OP=

1

2

x（2-x）=-

1

2

x²+x；
②当x＞2时，
∵AP=x，OP=x-2，BQ=x，
∴y=

1

2

BQ×OP=

1

2

x（x-2）=

1

2

x²-x；
即y与x的函数关系式是y=

- 1 2 x2+x(0≤x≤2) 1 2 x2-x(x＞2)

；

（3）正确，DE的长度为定值，且DE=

1

2

AB=

2

，
理由是：过P作PF∥OB交AB于F，
∵OA=OB=2，x轴⊥y轴，
∴由勾股定理得：AB=2

2

，
且△AOB，△APE，△FPA都是等腰直角三角形，
∵PE⊥AF，
∴E为AF中点，
∵PF=AP，AP=BQ，
∴BQ=PF，
∵PF∥OB，
∴∠BQD=∠FPD，
∵在△QBD和△PFD中

∠BQD=∠FPD ∠QDB=∠FDP BQ=PF

，
∴△QBD≌△PFD（AAS），
∴BD=DF，
∴DE=DF+FE=

1

2

BF+

1

2

AF=

1

2

AB=

2

，
当P在原点的左侧解题过程类似，
即当P、Q运动时，线段DE的长度始终保持不变，正确．
解：（1）当AP=1时，D不是线段AB的中点，
理由是：∵一次函数y=-x+2交x轴于A，交y轴于B，
∴把x=0代入得：y=2，
把y=0代入得：x=2，
∴OA=OB=2，
∵AP=BQ=1，
∴OP=2-1=1，OQ=2+1=3，
则Q（0，3），P（1，0），
设直线PQ的解析式是y=kx+3，
把P的坐标代入得：0=k+3，
k=-3，
∴y=-3x+3，
即

y=-x+2 y=-3x+3

，
解得：x=

1

2

，y=

3

2

，
即D的坐标是（

1

2

，

3

2

），
过D作DH⊥OA于H，
则DH=

3

2

，OH=

1

2

，AH=2-

1

2

=

3

2

，
∴OH和AH不相等（H不是OA中点），
∴D不是AB中点；

（2）①当0≤x≤2时，
∵AP=x，OP=2-x，BQ=x，
∴y=

1

2

BQ×OP=

1

2

x（2-x）=-

1

2

x²+x；
②当x＞2时，
∵AP=x，OP=x-2，BQ=x，
∴y=

1

2

BQ×OP=

1

2

x（x-2）=

1

2

x²-x；
即y与x的函数关系式是y=

- 1 2 x2+x(0≤x≤2) 1 2 x2-x(x＞2)

；

（3）正确，DE的长度为定值，且DE=

1

2

AB=

2

，
理由是：过P作PF∥OB交AB于F，
∵OA=OB=2，x轴⊥y轴，
∴由勾股定理得：AB=2

2

，
且△AOB，△APE，△FPA都是等腰直角三角形，
∵PE⊥AF，
∴E为AF中点，
∵PF=AP，AP=BQ，
∴BQ=PF，
∵PF∥OB，
∴∠BQD=∠FPD，
∵在△QBD和△PFD中

∠BQD=∠FPD ∠QDB=∠FDP BQ=PF

，
∴△QBD≌△PFD（AAS），
∴BD=DF，
∴DE=DF+FE=

1

2

BF+

1

2

AF=

1

2

AB=

2

，
当P在原点的左侧解题过程类似，
即当P、Q运动时，线段DE的长度始终保持不变，正确．