试题

如图，在平面直角坐标系中，直线y=

3

4

x+

9

4

分别与x轴、y轴交于A、B两点，点C是射线AB上一点，CD⊥x轴于点D，且CD=3．
（1）求证：△AOB∽△ADC；
（2）求线段AD的长度；
（3）在x轴上找一点E，连接CE，使得△ACE与△ACD相似（不包括全等），并求点E的坐标；
（4）在（3）的条件下，若点P、Q分别是线段AC、AE上的动点，连接PQ．设AP=EQ=m，是否存在实数m，使得△APQ与△AEC相似？如存在，请求出实数m的值；如不存在，请说明理由．

（1）证明：∵CD⊥x轴于点D，∠BOD=90°，
∴BO∥DC，
∴△AOB∽△ADC；

（2）解：∵直线y=

3

4

x+

9

4

分别与x轴、y轴交于A、B两点，
∴0=

3

4

x+

9

4

，
∴x=-3，
∴A点坐标为：（-3，0），
∴B点坐标为：（0，

9

4

），
∵△AOB∽△ADC；
∴

AO

AD

=

OB

CD

，
∵AO=3，OB=

9

4

，CD=3，
∴

3

AD

=

9 4

3

，
∴AD=4，

（3）解：如图，过点C作EC⊥AC，交x轴于点E，
在Rt△ADC和Rt△ACE中，
∵∠CAD=∠CAE，
∴Rt△ACD∽Rt△AEC，
∴E点为所求，
又tan∠ACD=tan∠CED=

4

3

，
∴DE=CD÷tan∠CED=3÷

4

3

=

9

4

，
∴OE=OD+ED=

13

4

，
∴E（

13

4

，0）；


（4）解：这样的m存在．
在Rt△ACE中，由勾股定理得AC=5，
如图1，当PQ∥CE时，△APQ∽△ACE则

m

5

=

3+ 13 4 -m

3+ 13 4

，
解得 m=

25

9

，
如图2，当PQ⊥AE时，△APQ∽△AEC，
则

m

3+ 13 4

=

3+ 13 4 -m

5

，
解得 m=

125

36

．
故存在m的值是

25

9

或

125

36

时，使得△APQ与△AEC相似．
（1）证明：∵CD⊥x轴于点D，∠BOD=90°，
∴BO∥DC，
∴△AOB∽△ADC；

（2）解：∵直线y=

3

4

x+

9

4

分别与x轴、y轴交于A、B两点，
∴0=

3

4

x+

9

4

，
∴x=-3，
∴A点坐标为：（-3，0），
∴B点坐标为：（0，

9

4

），
∵△AOB∽△ADC；
∴

AO

AD

=

OB

CD

，
∵AO=3，OB=

9

4

，CD=3，
∴

3

AD

=

9 4

3

，
∴AD=4，

（3）解：如图，过点C作EC⊥AC，交x轴于点E，
在Rt△ADC和Rt△ACE中，
∵∠CAD=∠CAE，
∴Rt△ACD∽Rt△AEC，
∴E点为所求，
又tan∠ACD=tan∠CED=

4

3

，
∴DE=CD÷tan∠CED=3÷

4

3

=

9

4

，
∴OE=OD+ED=

13

4

，
∴E（

13

4

，0）；


（4）解：这样的m存在．
在Rt△ACE中，由勾股定理得AC=5，
如图1，当PQ∥CE时，△APQ∽△ACE则

m

5

=

3+ 13 4 -m

3+ 13 4

，
解得 m=

25

9

，
如图2，当PQ⊥AE时，△APQ∽△AEC，
则

m

3+ 13 4

=

3+ 13 4 -m

5

，
解得 m=

125

36

．
故存在m的值是

25

9

或

125

36

时，使得△APQ与△AEC相似．