试题

（2007·哈尔滨）如图，梯形ABCD在平面直角坐标系中，上底AD平行于x轴，下底BC交y轴于点E，点C（4，-2），点D（1，2），BC=9，sin∠ABC=

4

5

．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点H的坐标为（-1，-1），动点G从B出发，以1个单位/秒的速度沿着BC边向C点运动（点G可以与点B或点C重合），求△HGE的面积S（S≠0）随动点G的运动时间t′秒变化的函数关系式（写出自变量t′的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当t′=

7

2

秒时，点G停止运动，此时直线GH与y轴交于点N．另一动点P开始从B出发，以1个单位/秒的速度沿着梯形的各边运动一周，即由B到A，然后由A到D，再由D到C，最后由C回到B（点P可以与梯形的各顶点重合）．设动点P的运动时间为t秒，点M为直线HE上任意一点（点M不与点H重合），在点P的整个运动过程中，求出所有能使∠PHM与∠HNE相等的t的值．

解：（1）如图1，过A作AF⊥BC．
∵C（4，-2），∴CE=4．
而BC=9，∴BE=5．
∴B（-5，-2）．
∵D（1，2），∴AF=4．
∵sin∠ABC=

4

5

，∴BF=3．
∴A（-2，2）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵

-5k+b=-2 -2k+b=2

，∴

k= 4 3 b= 14 3

，
∴直线AB的解析式为y=

4

3

x+

14

3

．

（2）如图1，由题意：
情况一：G在线段BE上且不与点E重合．
∴GE=5-t′，
S=（5-t′）×1×

1

2

=

5

2

-

1

2

t′；
情况二：G在线段CE上且不与点E重合．
∴GE=t′-5
S=（t′-5）×1×

1

2

=

1

2

t′-

5

2

；
情况一中的自变量的取值范围：0≤t′＜5，
情况二中的自变量的取值范围：5＜t′≤9．

（3）如图2，
当t′=

7

2

秒时，GE=5-

7

2

=

3

2

∴G（-

3

2

，-2），直线GH解析式为y=2x+1．
∴N（0，1）．
当点M在射线HE上时，有两种情况：
情况一：当点P运动至P₁时，∠P₁HM=∠HNE．
过点P₁作平行于y轴的直线，交直线HE于点Q₁，交BC于点R．
由BP₁=t，sin∠ABC=

4

5

，可得BR=

3

5

t1，P₁R=

4

5

t1，
∴RE=Q₁R=5-

3

5

t1，
∴P₁Q₁=5-

7

5

t1．
∴Q₁H=

2

(4-

3

5

t1)．
由△P₁Q₁H∽△HEN得

P1Q1

Q1H

=

HE

EN

，
∴t₁=

7

3

．
∴当t₁=

7

3

时，∠P₁HM=∠HNE；
情况二：当点P运动至点P₂时，
设直线P₂H与x轴交于点T，直线HE与x交于点Q₂．
此时，△Q₂TH∽△EHN
∴

Q2T

Q2H

=

EH

EN

解得Q2T=

2

3

∴T(-

4

3

，0)．
∴直线HT的解析式为y=-3x-4，此时直线HT恰好经过点A（-2，2）．
∴点P₂与点A重合，即BP₂=5，
∴t₂=5．
∴当t₂=5秒时，∠P₂HM=∠HNE；
若点M在射线HE上时（点M记为点M₁），有两种情况：
情况三：当点P运动至点P₃时，∠P₃HM₁=∠HNE．
过点P₃作平行于y轴的直线P₃Q₃，交直线HE于点Q₃，可用求点P₁同样的方法．
∴t₃=15．
∴当t₃=15秒时，∠P₃HM₁=∠HNE；
情况四：当点P运动至P₄时，∠P₄HM₁=∠HNE．
可得△P₄HE≌△THQ₂，∴P₄E=TQ₂=

2

3

．∴t₄=17

2

3

∴当t₄=17

2

3

秒时，∠P₄HM₂=∠HNE．
综上所述：当t=

7

3

秒或t=5秒或t=15秒或t=17

2

3

秒时，∠PHM=∠HNE．
解：（1）如图1，过A作AF⊥BC．
∵C（4，-2），∴CE=4．
而BC=9，∴BE=5．
∴B（-5，-2）．
∵D（1，2），∴AF=4．
∵sin∠ABC=

4

5

，∴BF=3．
∴A（-2，2）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵

-5k+b=-2 -2k+b=2

，∴

k= 4 3 b= 14 3

，
∴直线AB的解析式为y=

4

3

x+

14

3

．

（2）如图1，由题意：
情况一：G在线段BE上且不与点E重合．
∴GE=5-t′，
S=（5-t′）×1×

1

2

=

5

2

-

1

2

t′；
情况二：G在线段CE上且不与点E重合．
∴GE=t′-5
S=（t′-5）×1×

1

2

=

1

2

t′-

5

2

；
情况一中的自变量的取值范围：0≤t′＜5，
情况二中的自变量的取值范围：5＜t′≤9．

（3）如图2，
当t′=

7

2

秒时，GE=5-

7

2

=

3

2

∴G（-

3

2

，-2），直线GH解析式为y=2x+1．
∴N（0，1）．
当点M在射线HE上时，有两种情况：
情况一：当点P运动至P₁时，∠P₁HM=∠HNE．
过点P₁作平行于y轴的直线，交直线HE于点Q₁，交BC于点R．
由BP₁=t，sin∠ABC=

4

5

，可得BR=

3

5

t1，P₁R=

4

5

t1，
∴RE=Q₁R=5-

3

5

t1，
∴P₁Q₁=5-

7

5

t1．
∴Q₁H=

2

(4-

3

5

t1)．
由△P₁Q₁H∽△HEN得

P1Q1

Q1H

=

HE

EN

，
∴t₁=

7

3

．
∴当t₁=

7

3

时，∠P₁HM=∠HNE；
情况二：当点P运动至点P₂时，
设直线P₂H与x轴交于点T，直线HE与x交于点Q₂．
此时，△Q₂TH∽△EHN
∴

Q2T

Q2H

=

EH

EN

解得Q2T=

2

3

∴T(-

4

3

，0)．
∴直线HT的解析式为y=-3x-4，此时直线HT恰好经过点A（-2，2）．
∴点P₂与点A重合，即BP₂=5，
∴t₂=5．
∴当t₂=5秒时，∠P₂HM=∠HNE；
若点M在射线HE上时（点M记为点M₁），有两种情况：
情况三：当点P运动至点P₃时，∠P₃HM₁=∠HNE．
过点P₃作平行于y轴的直线P₃Q₃，交直线HE于点Q₃，可用求点P₁同样的方法．
∴t₃=15．
∴当t₃=15秒时，∠P₃HM₁=∠HNE；
情况四：当点P运动至P₄时，∠P₄HM₁=∠HNE．
可得△P₄HE≌△THQ₂，∴P₄E=TQ₂=

2

3

．∴t₄=17

2

3

∴当t₄=17

2

3

秒时，∠P₄HM₂=∠HNE．
综上所述：当t=

7

3

秒或t=5秒或t=15秒或t=17

2

3

秒时，∠PHM=∠HNE．