试题

（2007·济宁）如图，A，B分别为x轴和y轴正半轴上的点，OA，OB的长分别是方程x²-14x+48=0的两根（OA＞OB），直线BC平分∠ABO交x轴于C点，P为BC上一动点，P点以每秒1个单位的速度从B点开始沿BC方向移动．
（1）设△APB和△OPB的面积分别为S₁，S₂，求S₁：S₂的值；
（2）求直线BC的解析式；
（3）设PA-PO=m，P点的移动时间为t．
①当0＜t≤4

5

时，试求出m的取值范围；
②当t＞4

5

时，你认为m的取值范围如何？（只要求写出结论）

解：（1）x²-14x+48=0，
解得x₁=6，x₂=8，
则OA=8，OB=6 AB=10，
P是角平分线上的点，P到OB，AB的距离相等，
S₁：S₂=AB：OB=5：3；

（2）过C点作CD⊥AB交AB于点D．
∵BC平分∠ABO，
∴CD=OC，BD=OB=6，
设OC=a，则CD=a，AC=8-a，
∵AC²=CD²+AD²，
∴（8-a）²=a²+（10-6）²，
解得a=3，
∴C点坐标为（3，0），
∴设BC的解析式为y=kx+b，得

6=b 0=3k+b

，
∴k=-2，b=6，
∴BC的解析式为y=-2x+6；

（3）①∵BC=

BO2+OC2

，
∴BC=

62+32

=3

5

，
当t=4

5

时，设P点到达P₁点的位置（如图2），作P₁Q⊥x轴于Q，则

P1C

BC

=

CQ

OC

，
∵P₁C=P₁B-BC=4

5

×1-3

5

=

5

，
∴

5

3 5

=

CQ

3

，
∴CQ=1，
∴OQ=4=

1

2

OA，
∴P₁O=PA，
∴当t=4

5

时，PA-PO=0，即m=0．
当0＜t≤4

5

时，即P处于B，P₁之间时，
在BA上截取BE=BO，连接PE，则△OPB≌△EPB，
∴PE=PO．
在△PAE中，PA-PE＜AE，而AE=4，
∴PA-PO＜4，即m＜4．
作PR⊥OA于R，则R处于线段OQ上，此时OR＜AR，
∵PA=

PR2+AR2

，PO=

PR2+OR2

，
∴PA＞PO，
∴PA-PO＞0，即m＞0．
综上所述，当0＜t≤4

5

时，0≤m＜4；
②当t＞4

5

时，m＜0．
解：（1）x²-14x+48=0，
解得x₁=6，x₂=8，
则OA=8，OB=6 AB=10，
P是角平分线上的点，P到OB，AB的距离相等，
S₁：S₂=AB：OB=5：3；

（2）过C点作CD⊥AB交AB于点D．
∵BC平分∠ABO，
∴CD=OC，BD=OB=6，
设OC=a，则CD=a，AC=8-a，
∵AC²=CD²+AD²，
∴（8-a）²=a²+（10-6）²，
解得a=3，
∴C点坐标为（3，0），
∴设BC的解析式为y=kx+b，得

6=b 0=3k+b

，
∴k=-2，b=6，
∴BC的解析式为y=-2x+6；

（3）①∵BC=

BO2+OC2

，
∴BC=

62+32

=3

5

，
当t=4

5

时，设P点到达P₁点的位置（如图2），作P₁Q⊥x轴于Q，则

P1C

BC

=

CQ

OC

，
∵P₁C=P₁B-BC=4

5

×1-3

5

=

5

，
∴

5

3 5

=

CQ

3

，
∴CQ=1，
∴OQ=4=

1

2

OA，
∴P₁O=PA，
∴当t=4

5

时，PA-PO=0，即m=0．
当0＜t≤4

5

时，即P处于B，P₁之间时，
在BA上截取BE=BO，连接PE，则△OPB≌△EPB，
∴PE=PO．
在△PAE中，PA-PE＜AE，而AE=4，
∴PA-PO＜4，即m＜4．
作PR⊥OA于R，则R处于线段OQ上，此时OR＜AR，
∵PA=

PR2+AR2

，PO=

PR2+OR2

，
∴PA＞PO，
∴PA-PO＞0，即m＞0．
综上所述，当0＜t≤4

5

时，0≤m＜4；
②当t＞4

5

时，m＜0．