试题

题目：
（2007·衢州）如图，点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3）…，Bn（n，yn）（n是正整数）依次为一次函数y=
1
4
x+
1
12
的图象上的点，点A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…，An（xn，0）（n是正整数）依次是x轴正半轴上的点，已知x1=a（0＜a＜1），△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…△AnBnAn+1分别是以B1，B2，B3，…，Bn为顶点的等腰三角形．
（1）写出B2，Bn两点的坐标；
（2）求x2，x3（用含a的代数式表示）；分析图形中各等腰三角形底边长度之间的关系，写出你认为成立的两个结论；
（3）当a（0＜a＜1）变化时，在上述所有的等腰三角形中，是否存在直角三角形？若存在，求出相应的a的值；若不存在，请说明理由．
青果学院
答案
解：（1）B2(2，
7
12
)，Bn(n，
n
4
+
1
12
)；

（2）x2=2-a，x3=2+a，
结论1：顶点为B1，B3，B5，等奇数位置上的等腰三角形底边长都等于2-2a，
结论2：顶点为B2，B4，B6，等偶数位置上的等腰三角形底边长都等于2a，
结论3：每相邻的两个等腰三角形底边之和都等于常数2．

（3）设第n个等腰三角形恰好为直角三角形，那么这个三角形的底边等于高yn的2倍．由第（2）小题的结论可知：
当n为奇数时，有2-2a=2（
n
4
+
1
12
)，化简得：n=-4a+
11
3
(0＜a＜1)，
∴-
1
3
＜n＜
11
3
，∴n=1或3
∴a=
2
3
或
1
6
，
当n为偶数时，有2a=2(
n
4
+
1
12
)，得：n=4a-
1
3
(0＜a＜1)，
∴-
1
3
＜n＜
11
3
，∴n=2
∴a=
7
12
，
综上所述，存在直角三角形，且a=
2
3
或
1
6
或
7
12
．
解：（1）B2(2，
7
12
)，Bn(n，
n
4
+
1
12
)；

（2）x2=2-a，x3=2+a，
结论1：顶点为B1，B3，B5，等奇数位置上的等腰三角形底边长都等于2-2a，
结论2：顶点为B2，B4，B6，等偶数位置上的等腰三角形底边长都等于2a，
结论3：每相邻的两个等腰三角形底边之和都等于常数2．

（3）设第n个等腰三角形恰好为直角三角形，那么这个三角形的底边等于高yn的2倍．由第（2）小题的结论可知：
当n为奇数时，有2-2a=2（
n
4
+
1
12
)，化简得：n=-4a+
11
3
(0＜a＜1)，
∴-
1
3
＜n＜
11
3
，∴n=1或3
∴a=
2
3
或
1
6
，
当n为偶数时，有2a=2(
n
4
+
1
12
)，得：n=4a-
1
3
(0＜a＜1)，
∴-
1
3
＜n＜
11
3
，∴n=2
∴a=
7
12
，
综上所述，存在直角三角形，且a=
2
3
或
1
6
或
7
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．
考点梳理
一次函数综合题．
（1）因为点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3）…，Bn（n，yn）（n是正整数）依次为一次函数y=
1
4
x+
1
12
的图象上的点，所以分别令x=2，x=n，求出相应的y值即可；
（2）因为△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…△AnBnAn+1分别是以B1，B2，B3，…，Bn为顶点的等腰三角形，利用等腰三角形底边上的高垂直平分底边，可知x2-1=1-x1，x3-2=2-x2，其中x1=a，所以x2=2-a，x3=4-x2=2+a，
分析图形中各等腰三角形底边长度之间的关系时，分两种情况，当顶点为B1，B3，B5，等奇数位置上的等腰三角形底边长都等于2-2a；顶点为B2，B4，B6，等偶数位置上的等腰三角形底边长都等于2a；
（3）可设第n个等腰三角形恰好为直角三角形，那么这个三角形的底边等于高yn的2倍．由第（2）小题的结论可知：
当n为奇数时，有2-2a=2（
n
4
+
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12
)，化简得到用a表示n的式子，结合a的取值范围，求出n的取值范围，利用n是正整数，即可求出n的值；当n为偶数时，有2a=2（
n
4
+
1
12
)，同样化简得到用a表示n的式子，结合a的取值范围，求出n的取值范围，利用n是正整数，即可求出n的值．
本题需利用数形结合的思想，灵活运用一次函数同等腰三角形的性质来解决问题．
压轴题．
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