试题

（2009·随州）如图1，在Rt△A′OB′中，∠B′A′0=90°，A′，B′两点的坐标分别为（2，-1）和（0，-5），将A′0B′绕点O逆时针方向旋转90°，使OB’落在x轴正半轴上，得△AOB，点A′的对应点是A，点B’的对应点是B．
（1）写出A，B两点的坐标，并求直线AB的解析式；
（2）如图2，将△A0B沿垂直于x轴的线段CD折叠，（点C在x轴上，且不与点B重合，点D在线段AB上），使点B落在x轴上，对应点为点E，设点C的坐标为（x，0）．
①当x为何值时，线段DE平分△AOB的面积；
②是否存在这样的点使得△AED为直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
③设△CDE与△AOB重叠部分的面积为S，直接写出S与点C的横坐标x之间的函数关系式（包括自变量x的取值范围）．

解：（1）A（1，2），B（5，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b，则有：

k+b=2 5k+b=0

，
解得：

k=- 1 2 b= 5 2

，
∴直线AB的解析式为y=-

1

2

x+

5

2

．

（2）①当x=

5

2

时，CD=y=

5-x

2

=

5

4

，S_△DEB=

1

2

×5×

5

4

=

25

8

＞3，
∴点E在O的右边．
由题意，得：S_△DEB=

1

2

×2（5-x）×

5-x

2

=

5

2

，x=5+

5

（舍去），
∴x=5-

5

．
②当∠ADE=90°时，得∠DBE=∠DEB=45°，舍去，
当∠EAD=90°时，点E与点O重合，得x=

5

2

．
当∠AED=90°时，作AH⊥OB于H，证明△AHE∽△DCE，可得HE=1．
∴OE=2．
∴2+2（5-x）=5，x=

7

2

．

③当

5

2

≤x＜5时，S=

1

2

×（5-x）×

5-x

2

=

1

4

（x-5）²；
当2≤x＜

5

2

时，设DE、OA交于P，作PM⊥OB与M，设PM=h，则OM=

h

2

，EM=2h，OE=5-2x．
∴5-2x+

h

2

=2h，h=

2

3

（5-2x），
∴S=

1

2

×（5-x）×

5-x

2

-

1

2

×（5-2x）×

2

3

（5-2x）=-

13

12

x²+

25

6

x-

25

12

．
解：（1）A（1，2），B（5，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b，则有：

k+b=2 5k+b=0

，
解得：

k=- 1 2 b= 5 2

，
∴直线AB的解析式为y=-

1

2

x+

5

2

．

（2）①当x=

5

2

时，CD=y=

5-x

2

=

5

4

，S_△DEB=

1

2

×5×

5

4

=

25

8

＞3，
∴点E在O的右边．
由题意，得：S_△DEB=

1

2

×2（5-x）×

5-x

2

=

5

2

，x=5+

5

（舍去），
∴x=5-

5

．
②当∠ADE=90°时，得∠DBE=∠DEB=45°，舍去，
当∠EAD=90°时，点E与点O重合，得x=

5

2

．
当∠AED=90°时，作AH⊥OB于H，证明△AHE∽△DCE，可得HE=1．
∴OE=2．
∴2+2（5-x）=5，x=

7

2

．

③当

5

2

≤x＜5时，S=

1

2

×（5-x）×

5-x

2

=

1

4

（x-5）²；
当2≤x＜

5

2

时，设DE、OA交于P，作PM⊥OB与M，设PM=h，则OM=

h

2

，EM=2h，OE=5-2x．
∴5-2x+

h

2

=2h，h=

2

3

（5-2x），
∴S=

1

2

×（5-x）×

5-x

2

-

1

2

×（5-2x）×

2

3

（5-2x）=-

13

12

x²+

25

6

x-

25

12

．