试题

（2010·衡阳）已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒．
（1）线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形并求出该矩形的面积；
（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t，求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

解：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，则AD=2，
当MN运动到被CD垂直平分时，四边形MNQP是矩形，
即当AM=

3

2

时，四边形MNQP是矩形，
∴t=

3

2

秒时，四边形MNQP是矩形，
∵PM=AMtan60°=

3

2

3

，
PQ=MN=AB-2AM=4-3=1，
∴S_{四边形MNQP}=PM·PQ=

3

2

3

；

（2）①当0＜t≤1时，点P、Q都在AC上，并且四边形PMNQ为直角梯形，
在Rt△AMP中，
∵∠A=60°，AM=t，tan∠A=

PM

AM

，
∴PM=tan60°×AM=

3

AM=

3

t，
在Rt△ANQ中，
而AN=AM+MN=t+1，
∴QN=

3

AN=

3

（t+1），
∴S_{四边形MNQP}=

1

2

（PM+QN）MN=

1

2

[

3

t+

3

（t+1）]=

3

t+

3

2

；
②当1＜t＜2时，
点P在AC上，点Q在BC上，
PM=

3

t，
BN=AB-AM-MN=4-1-t=3-t，
在Rt△BNQ中，
QN=

3

BN=

3

（3-t），
∴S_{四边形MNQP}=

1

2

（PM+QN）MN=

1

2

[

3

t+

3

（3-t）]×1=

3

2

3

；
③当2≤t＜3时，点P、Q都在BC上，
BM=4-t，BN=3-t，
∴PM=

3

BM=

3

（4-t），QN=

3

BN=

3

（3-t），
∴S_{四边形MNQP}=

1

2

（PM+QN）MN=

1

2

[

3

（3-t）+

3

（4-t）]=

7

2

3

-

3

t．    
 综上所述：当0＜t≤1时，S_{四边形MNQP}=

3

t+

3

2

；当1＜t＜2时，S_{四边形MNQP}=

3

2

3

；
当2≤t＜3时，S_{四边形MNQP}=

7

2

3

-

3

t．  （10分）
解：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，则AD=2，
当MN运动到被CD垂直平分时，四边形MNQP是矩形，
即当AM=

3

2

时，四边形MNQP是矩形，
∴t=

3

2

秒时，四边形MNQP是矩形，
∵PM=AMtan60°=

3

2

3

，
PQ=MN=AB-2AM=4-3=1，
∴S_{四边形MNQP}=PM·PQ=

3

2

3

；

（2）①当0＜t≤1时，点P、Q都在AC上，并且四边形PMNQ为直角梯形，
在Rt△AMP中，
∵∠A=60°，AM=t，tan∠A=

PM

AM

，
∴PM=tan60°×AM=

3

AM=

3

t，
在Rt△ANQ中，
而AN=AM+MN=t+1，
∴QN=

3

AN=

3

（t+1），
∴S_{四边形MNQP}=

1

2

（PM+QN）MN=

1

2

[

3

t+

3

（t+1）]=

3

t+

3

2

；
②当1＜t＜2时，
点P在AC上，点Q在BC上，
PM=

3

t，
BN=AB-AM-MN=4-1-t=3-t，
在Rt△BNQ中，
QN=

3

BN=

3

（3-t），
∴S_{四边形MNQP}=

1

2

（PM+QN）MN=

1

2

[

3

t+

3

（3-t）]×1=

3

2

3

；
③当2≤t＜3时，点P、Q都在BC上，
BM=4-t，BN=3-t，
∴PM=

3

BM=

3

（4-t），QN=

3

BN=

3

（3-t），
∴S_{四边形MNQP}=

1

2

（PM+QN）MN=

1

2

[

3

（3-t）+

3

（4-t）]=

7

2

3

-

3

t．    
 综上所述：当0＜t≤1时，S_{四边形MNQP}=

3

t+

3

2

；当1＜t＜2时，S_{四边形MNQP}=

3

2

3

；
当2≤t＜3时，S_{四边形MNQP}=

7

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t．  （10分）