试题

（2010·连云港）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的圆心坐标为（-2，-2），半径为

2

．函数y=-x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为线段AB上一动点．
（1）连接CO，求证：CO⊥AB；
（2）若△POA是等腰三角形，求点P的坐标；
（3）当直线PO与⊙C相切时，求∠POA的度数；当直线PO与⊙C相交时，设交点为E、F，点M为线段EF的中点，令PO=t，MO=s，求s与t之间的函数关系，并写出t的取值范围．

（1）证明：延长CO交AB于D，过点C作CG⊥x轴于点G．
∵直线AB的函数关系式是y=-x+2，∴易得A（2，0），B（0，2）
∴AO=BO=2
又∵∠AOB=90°，∴∠DAO=45°（1分）
∵C（-2，-2），∴CG=OG=2
∴∠COG=45°，∠AOD=45°（2分）
∴∠ODA=90°，
∴OD⊥AB，即CO⊥AB（3分）

（2）解：要使△POA为等腰三角形
①当OP=OA时，此时点P与点B重合，∴点P坐标为（0，2）；
②当PO=PA时，由∠OAB=45°，∴点P恰好是AB的中点，∴点P坐标为（1，1）；
③当AP=AO时，则AP=2，过点P作PH⊥OA交于点H，在Rt△APH中，易得PH=AH=

2

，∴OH=2-

2

，∴点坐标为（2-

2

，

2

），
综上所述，P（0，2）、P（2-

2

，

2

）、P（1，1）；

（3）解：当直线PO与⊙O相切时，设切点为K，连接CK，则CK⊥OK，
由点C的坐标为（-2，-2），易得CO=2

2

，
又∵⊙C的半径为

2

，∴∠COK=30°，
∴∠POD=30°，又∠AOD=45°，∴∠POA=75°
同理可求出∠POA的另一个值为15°
∴∠POA等于75°或15°（10分）
∵M为EF的中点，∴CM⊥EF
又∵∠COM=∠POD．CO⊥AB
∴△COM∽△POD
∴

CO

PO

=

MO

DO

，即MO·PO=CO·DO
∵PO=t，MO=s，CO=2

2

，DO=

2

，∴st=4．
当PO过圆心C时，MO=CO=2

2

，PO=DO=

2

，即MO·PO=4，也满足st=4．∴s=

4

t

．（

2

≤t＜

2 6

3

）．
（1）证明：延长CO交AB于D，过点C作CG⊥x轴于点G．
∵直线AB的函数关系式是y=-x+2，∴易得A（2，0），B（0，2）
∴AO=BO=2
又∵∠AOB=90°，∴∠DAO=45°（1分）
∵C（-2，-2），∴CG=OG=2
∴∠COG=45°，∠AOD=45°（2分）
∴∠ODA=90°，
∴OD⊥AB，即CO⊥AB（3分）

（2）解：要使△POA为等腰三角形
①当OP=OA时，此时点P与点B重合，∴点P坐标为（0，2）；
②当PO=PA时，由∠OAB=45°，∴点P恰好是AB的中点，∴点P坐标为（1，1）；
③当AP=AO时，则AP=2，过点P作PH⊥OA交于点H，在Rt△APH中，易得PH=AH=

2

，∴OH=2-

2

，∴点坐标为（2-

2

，

2

），
综上所述，P（0，2）、P（2-

2

，

2

）、P（1，1）；

（3）解：当直线PO与⊙O相切时，设切点为K，连接CK，则CK⊥OK，
由点C的坐标为（-2，-2），易得CO=2

2

，
又∵⊙C的半径为

2

，∴∠COK=30°，
∴∠POD=30°，又∠AOD=45°，∴∠POA=75°
同理可求出∠POA的另一个值为15°
∴∠POA等于75°或15°（10分）
∵M为EF的中点，∴CM⊥EF
又∵∠COM=∠POD．CO⊥AB
∴△COM∽△POD
∴

CO

PO

=

MO

DO

，即MO·PO=CO·DO
∵PO=t，MO=s，CO=2

2

，DO=

2

，∴st=4．
当PO过圆心C时，MO=CO=2

2

，PO=DO=

2

，即MO·PO=4，也满足st=4．∴s=

4

t

．（

2

≤t＜

2 6

3

）．