试题

如图①，A、D分别在x轴和y轴上，CD∥x轴，BC∥y轴．点P从D点出发，以1cm/s的速度，沿五边形OABCD的边匀速运动一周．记顺次联结P、O、D三点所围成图形的面积为Scm²，点P运动的时间为t s．已知S与t之间的函数关系如图②中折线段OEFGHI所示．

阅读理解，并回答下列问题：
（1）从图②点E可以看出刚开始的时候，随着点P的运动，面积S并没有发生变化，由此可以判断点P的运动方向为（填入顺时针或逆时针）
（2）从图②点F（6，4）可以得到：OD+OA=6；

1

2

OD×OA=4，且OD＞3．由此可以得到OD、OA的长度，进一步分析，可以求得A、B两点的坐标：A（，）、B（，）；
（3）探究1：是否存在某一时刻，直线PD将五边形OABCD分成周长相等的两部分？如果存在，简要说明这时点P的坐标；如果不存在，说明理由．
（4）探究2：是否存在某一时刻，直线PD将五边形OABCD分成面积相等的两部分？如果存在，求出直线PD的函数解析式；如果不存在，说明理由．

解：（1）∵从图②点E可以看出刚开始的时候，随着点P的运动，面积S并没有发生变化，
∴点P在OD上，
∵点P从D点出发，以1cm/s的速度沿五边形OABCD的边匀速运动一周，
∴点P的运动方向为逆时针．
故答案为：逆时针；

（2）连接AD，设点A的坐标为（a，0），
由图2知，DO+OA=6cm，则DO=6-AO=6-a，
由图2知S_△AOD=4，
∴

1

2

DO·AO=

1

2

a（6-a）=4，
整理得：a²-6a+8=0，
解得a=2或a=4，
由图2知，DO＞3，
∴AO＜3，
∴a=2，
∴A的坐标为（2，0），
D点坐标为（0，4），
在图1中，延长CB交x轴于M，
由图2，知AB=5cm，CB=1cm，
∴MB=3，
∴AM=

AB2-MB2

=4．
∴OM=6，
∴B点坐标为（6，3）．
故答案为：（2，0 ）、（ 6，3 ）；

（3）存在．
理由：∵由（1）知，A（2，0），B（6，3），D（0，4），
∴C（6，4），
∴OA=2，AB=5，BC=1，CD=6，OD=4，
∴五边形OABCD的周长=2+5+1+6+4=18，
∵直线PD将五边形OABCD分成周长相等的两部分，
∴点P在线段AB上，且距点B2个单位长度，
∴AP=3，
∴

AP

AB

=

PK

BM

，即

3

5

=

PK

3

，解得PK=

9

5

，
∴AK=

AP2-PK2

=

32-( 9 5 )2

=

12

5

，
∵OA=2，
∴OK=2+

12

5

=

22

5

，
∴P（

22

5

，

9

5

）；

（4）存在．
理由：如图3，∵P在OA、BC、CD上时，直线PD都不能将五边形OABCD分成面积相等的两部分，
∴只有点P一定在AB上时，才能将五边形OABCD分成面积相等的两部分，
设点P（x，y），连PC、PO，则
S_{四边形DPBC}=S_△DPC+S_△PBC=

1

2

S_{五边形OABCD}=

1

2

（S_矩形OMCD-S_△ABM）=9，
∴

1

2

6×（4-y）+

1

2

×1×（6-x）=9，
即x+6y=12，
同理，由S_{四边形DPAO}=9可得2x+y=9，
由

x+6y=12 2x+y=9

，
解得x=

42

11

，y=

15

11

．
∴P（

42

11

，

15

11

），
设直线PD的函数关系式为y=kx+4（k≠0），
则

15

11

=

42

11

k+4，
∴k=-

29

42

，
∴直线PD的函数关系式为y=-

29

42

x+4．