试题

如图，直线y=-x=1交x轴于A点，交y轴于B点，正方形CDEF的边长为1，点C、点Dx轴上，且C（2，0）．直线AB以每秒2个单位的速度沿y轴向上平移，交x轴于A′，交y轴于B′．同时正方形CDEF以每秒1个单位的速度沿x轴向右平移得正方形C′D′E′F′，设移动的时间为t秒．
（1）求点A、点E的坐标；
（2）当t为何值时，点A′与点C′重合？点A′与点D′重合？点E′在直线A′B′上？
（3）若△OA′B′与正方形C′D′E′F′重合部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．

解：（1）在y=-x+1中，令y=0，得x=1则A的坐标是：（1，0）；
∵C（2，0）．
∴OC=2，
∴OD=OC+CD=2+1=3，
则E的坐标是：（3，1）；

（2）∵△OAB是等腰直角三角形，
∴AB以每秒2个单位的速度沿y轴向上平移，则A向右移动的速度是每秒2个单位．
根据题意得：1+2t=2+t，解得：t=1
故t=1时，A′与C′重合；
当1+2t=3+t，解得：t=2，
则当t=2时，A′与D′重合；
当点E′在直线A′B′上时，△E′D′A′构成等腰直角三角形，则1+2t-1=3+t，解得：t=3，
即当t=3时，E′在直线A′B′上；

（3）1＜t≤2时，重合部分是等腰直角三角形，A′C′=1+2t-（2+t）=t-1，
则S=

1

2

（t-1）²=

1

2

t²-t+

1

2

；
2＜t≤3时，S=1-

1

2

（3-t）²=-

1

2

t²+3t-

7

2

t＞3时，正方形形C′D′E′F′在△OA′B′内部，则S=1．
解：（1）在y=-x+1中，令y=0，得x=1则A的坐标是：（1，0）；
∵C（2，0）．
∴OC=2，
∴OD=OC+CD=2+1=3，
则E的坐标是：（3，1）；

（2）∵△OAB是等腰直角三角形，
∴AB以每秒2个单位的速度沿y轴向上平移，则A向右移动的速度是每秒2个单位．
根据题意得：1+2t=2+t，解得：t=1
故t=1时，A′与C′重合；
当1+2t=3+t，解得：t=2，
则当t=2时，A′与D′重合；
当点E′在直线A′B′上时，△E′D′A′构成等腰直角三角形，则1+2t-1=3+t，解得：t=3，
即当t=3时，E′在直线A′B′上；

（3）1＜t≤2时，重合部分是等腰直角三角形，A′C′=1+2t-（2+t）=t-1，
则S=

1

2

（t-1）²=

1

2

t²-t+

1

2

；
2＜t≤3时，S=1-

1

2

（3-t）²=-

1

2

t²+3t-

7

2

t＞3时，正方形形C′D′E′F′在△OA′B′内部，则S=1．