试题

如图，是一块含30°（即∠CAB=30°）角的三角板和一个量角器拼在一起，三角板斜边AB与量角器所在圆的直径MN恰好重合，其量角器最外缘的读数是从N点开始（即N点的读数为O），现有射线CP绕点C从CA的位置开始按顺时针方向以每秒2度的速度旋转到CB位置，在旋转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于E．
（1）当旋转7.5秒时，连接BE，试说明：BE=CE；
（2）填空：①当射线CP经过△ABC的外心时，点E处的读数是．
②当射线CP经过△ABC的内心时，点E处的读数是；
③设旋转x秒后，E点出的读数为y度，则y与x的函数式是y=．

（1）证明：连接BE，如图所示：
∵射线CP绕点C从CA的位置开始按顺时针方向以每秒2度的速度旋转
∴当旋转7.5秒时，∠ACE=7.5×2°=∠ABE=15°
又∵∠CAB=30°，∠CBA=60°，∠ACB=90°
∴∠CBE=75°，∠BCE=90°-15°=75°，即：∠CBE=∠BCE=75°
∴BE=CE．

（2）解：①当射线CP经过△ABC的外心时，CP经过AB的中心且此时有：CO=AO；
∴∠OCA=∠CAB=30°，∠AOE=60°
∴点E处的读数是120°．
②当射线CP经过△ABC的内心时，即CP为∠ACB的角平分线，
圆周角∠BCE=

1

2

×90°=45°，圆心角为90°，
∴点E处的读数是90°．
③设旋转x秒后，E点出的度数为y°，由题意得：
y与x的函数式是：y=180-4x（0＜x≤90）．