试题

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为长方形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，当两动点运动了t秒时．
（1）直线AC的解析式是y=-

3

4

x+3．
（2）记△MPA的面积为S，求S关于t的函数关系式（0＜t＜4）．
（3）若点Q在y轴上，当S=1.5且△QAN为等腰三角形时，求直线AQ的解析式．

解：（1）直线AC的解析式是y=-

3

4

x+3．

（2）∵OM=t，
∴AM=4-t，
∵PN∥AB，
∴

PN

AB

=

CN

CB

，
∴

PN

3

=

4-t

4

，
∴PN=

3

4

（4-t），
∴PH=3-PN=

3t

4

，
故S于t的函数关系式为S=

1

2

AM·ON=

1

2

×

3

4

t×（4-t）=

3

8

（4t-t²）=-

3

8

t²+

3

2

t．

（3）当S=1.5时，t=2，此时N在BC的中点处，如下图．
设Q（0，y），则AQ²=OA²+OQ²=4²+y²，
QN²=CN²+CQ²=2²+（3-y）²，
AN²=AB²+BN²=3²+2²．
∵△QAN为等腰三角形．
①若AQ=AN，则4²+y²=3²+2²，此时方程无解．

②若AQ=QN，即4²+y²=2²+（3-y）²，
解得y=-

1

2

．
③若QN=AN，即2²+（3-y）²=3²+2²，
解得y₁=0，y₂=6．
∴Q1(0，-

1

2

)，Q₂（0，0），Q₃（0，6）．
当Q为(0，-

1

2

)时，设直线AQ的解析式为y=kx-

1

2

，将A（4，0）
代入得4k-

1

2

=0，∴k=

1

8

．
∴直线AQ的解析式为y=

1

8

x-

1

2

．
当Q为（0，0）时，A（4，0），Q（0，0）均在x轴上，
∴直线AQ的解析式为y=0（或直线为x轴）．
当Q为（0，6）时，Q，N，A在同一直线上，△ANQ不存在，舍去．
故直线AQ的解析式为y=

1

8

x-

1

2

，或y=0．
解：（1）直线AC的解析式是y=-

3

4

x+3．

（2）∵OM=t，
∴AM=4-t，
∵PN∥AB，
∴

PN

AB

=

CN

CB

，
∴

PN

3

=

4-t

4

，
∴PN=

3

4

（4-t），
∴PH=3-PN=

3t

4

，
故S于t的函数关系式为S=

1

2

AM·ON=

1

2

×

3

4

t×（4-t）=

3

8

（4t-t²）=-

3

8

t²+

3

2

t．

（3）当S=1.5时，t=2，此时N在BC的中点处，如下图．
设Q（0，y），则AQ²=OA²+OQ²=4²+y²，
QN²=CN²+CQ²=2²+（3-y）²，
AN²=AB²+BN²=3²+2²．
∵△QAN为等腰三角形．
①若AQ=AN，则4²+y²=3²+2²，此时方程无解．

②若AQ=QN，即4²+y²=2²+（3-y）²，
解得y=-

1

2

．
③若QN=AN，即2²+（3-y）²=3²+2²，
解得y₁=0，y₂=6．
∴Q1(0，-

1

2

)，Q₂（0，0），Q₃（0，6）．
当Q为(0，-

1

2

)时，设直线AQ的解析式为y=kx-

1

2

，将A（4，0）
代入得4k-

1

2

=0，∴k=

1

8

．
∴直线AQ的解析式为y=

1

8

x-

1

2

．
当Q为（0，0）时，A（4，0），Q（0，0）均在x轴上，
∴直线AQ的解析式为y=0（或直线为x轴）．
当Q为（0，6）时，Q，N，A在同一直线上，△ANQ不存在，舍去．
故直线AQ的解析式为y=

1

8

x-

1

2

，或y=0．