试题

（2011·西藏）如图，直线y=kx-3与x轴、y轴分别交于B、C两点，且

OB

OC

=

1

2

．
（1）求B点坐标和k值；
（2）若点A（x，y）是直线y=kx-3上在第一象限内的一个动点，当点A在运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
（3）探究：
①当A点运动到什么位置时，△AOB的面积为

9

4

，并说明理由；
②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有P点坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）在y=kx-3中，令x=0，则y=-3，故C的坐标是（0，-3），OC=3，
∵

OB

OC

=

1

2

，
∴OB=

3

2

，则B的坐标是：（

3

2

，0），
把B的坐标代入y=kx-3，得：

3

2

k-3=0，解得：k=2；

（2）OB=

3

2

，
则S=

1

2

×

3

2

（2x-3）=

3

2

x-

9

4

；

（3）①根据题意得：

3

2

x-

9

4

=

9

4

，解得：x=3，则A的坐标是（3，3）；
②OA=

32+32

=3

2

，
当O是△AOP的顶角顶点时，P的坐标是（-3

2

，0）或（3

2

，0）；
当A是△AOP的顶角顶点时，P与过A的与x轴垂直的直线对称，则P的坐标是（6，0）；
当P是△AOP的顶角顶点时，P在OA的中垂线上，OA的中点是（

3

2

，

3

2

），
与OA垂直的直线的斜率是：-1，设直线的解析式是：y=-x+b，把（

3

2

，

3

2

）代入得：

3

2

=-

3

2

+b，
解得：b=3，
则直线的解析式是：y=-x+3，令y=0，解得：x=3，则P的坐标是（3，0）．
故P的坐标是：（-3

2

，0）或（3

2

，0）或（6，0）或（3，0）．
解：（1）在y=kx-3中，令x=0，则y=-3，故C的坐标是（0，-3），OC=3，
∵

OB

OC

=

1

2

，
∴OB=

3

2

，则B的坐标是：（

3

2

，0），
把B的坐标代入y=kx-3，得：

3

2

k-3=0，解得：k=2；

（2）OB=

3

2

，
则S=

1

2

×

3

2

（2x-3）=

3

2

x-

9

4

；

（3）①根据题意得：

3

2

x-

9

4

=

9

4

，解得：x=3，则A的坐标是（3，3）；
②OA=

32+32

=3

2

，
当O是△AOP的顶角顶点时，P的坐标是（-3

2

，0）或（3

2

，0）；
当A是△AOP的顶角顶点时，P与过A的与x轴垂直的直线对称，则P的坐标是（6，0）；
当P是△AOP的顶角顶点时，P在OA的中垂线上，OA的中点是（

3

2

，

3

2

），
与OA垂直的直线的斜率是：-1，设直线的解析式是：y=-x+b，把（

3

2

，

3

2

）代入得：

3

2

=-

3

2

+b，
解得：b=3，
则直线的解析式是：y=-x+3，令y=0，解得：x=3，则P的坐标是（3，0）．
故P的坐标是：（-3

2

，0）或（3

2

，0）或（6，0）或（3，0）．