试题

（2012·丽水）在△ABC中，∠ABC=45°，tan∠ACB=

3

5

．如图，把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB=14，OC=

10

3

34

，AC与y轴交于点E．

（1）求AC所在直线的函数解析式；
（2）过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积；
（3）已知点F（10，0），在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）在Rt△OCE中，OE=OCtan∠OCE=

10

3

34

×

3

5

=2

34

，∴点E（0，2

34

）．
设直线AC的函数解析式为y=kx+2

34

，有

10 34

3

k+2

34

=0，解得：k=-

3

5

．
∴直线AC的函数解析式为y=-

3

5

x+2

34

．
（2）在Rt△OGE中，tan∠EOG=tan∠OCE=

EG

GO

=

3

5

，
设EG=3t，OG=5t，OE=

EG2+OG2

=

34

t，∴2

34

=

34

t，得t=2，
故EG=6，OG=10，
∴S_△OEG=

1

2

OG×EG=

1

2

×10×6=30．
（3）存在．
①当点Q在AC上时，点Q即为点G，
如图1，作∠FOQ的角平分线交CE于点P₁，

由△OP₁F≌△OP₁Q，则有P₁F⊥x轴，由于点P₁在直线AC上，当x=10时，
y=-

3

5

×10+2

34

=2

34

-6，
∴点P₁（10，2

34

- 6）．
②当点Q在AB上时，
如图2，有OQ=OF，作∠FOQ的角平分线交CE于点P₂，

过点Q作QH⊥OB于点H，设OH=a，
则BH=QH=14-a，
在Rt△OQH中，a²+（14-a）²=100，
解得：a₁=6，a₂=8，
∴Q（-6，8）或Q（-8，6）．
连接QF交OP₂于点M．
当Q（-6，8）时，则点M（2，4）．
当Q（-8，6）时，则点M（1，3）．
设直线OP₂的解析式为y=kx，则
2k=4，k=2．
∴y=2x．
解方程组

y=2x y=- 3 5 x+2 34

，得

x= 10 34 13 y= 20 34 13

．
∴P₂（

10 34

13

，

20 34

13

）；
当Q（-8，6）时，则点M（1，3），
同理可求P₃（

5 34

9

，

5 34

3

）；


如备用图4，由QP₄∥OF，QP₄=OF=10，
设点P₄的横坐标为x，则点Q的横坐标为（x-10），
∵y_Q=y_P，直线AB的函数解析式为：y=x+14，
∴x-10+14=-

3

5

x+2

34

，
解得：x=

5 34 -10

4

，可得y=

5 34 +6

4

，
∴点P₄（

5 34 -10

4

，

5 34 +6

4

），
当Q在BC边上时，如图5，

③当Q在BC边上时，如图5，OQ=OF=10，点P₅在E点，
∴P₅（0，2

34

），
综上所述，满足条件的P点坐标为（10，2

34

- 6）或（

10 34

13

，

20 34

13

）或（

5 34

9

，

5 34

3

）或（0，2

34

），（

5 34 -10

4

，

5 34 +6

4

）．
解：（1）在Rt△OCE中，OE=OCtan∠OCE=

10

3

34

×

3

5

=2

34

，∴点E（0，2

34

）．
设直线AC的函数解析式为y=kx+2

34

，有

10 34

3

k+2

34

=0，解得：k=-

3

5

．
∴直线AC的函数解析式为y=-

3

5

x+2

34

．
（2）在Rt△OGE中，tan∠EOG=tan∠OCE=

EG

GO

=

3

5

，
设EG=3t，OG=5t，OE=

EG2+OG2

=

34

t，∴2

34

=

34

t，得t=2，
故EG=6，OG=10，
∴S_△OEG=

1

2

OG×EG=

1

2

×10×6=30．
（3）存在．
①当点Q在AC上时，点Q即为点G，
如图1，作∠FOQ的角平分线交CE于点P₁，

由△OP₁F≌△OP₁Q，则有P₁F⊥x轴，由于点P₁在直线AC上，当x=10时，
y=-

3

5

×10+2

34

=2

34

-6，
∴点P₁（10，2

34

- 6）．
②当点Q在AB上时，
如图2，有OQ=OF，作∠FOQ的角平分线交CE于点P₂，

过点Q作QH⊥OB于点H，设OH=a，
则BH=QH=14-a，
在Rt△OQH中，a²+（14-a）²=100，
解得：a₁=6，a₂=8，
∴Q（-6，8）或Q（-8，6）．
连接QF交OP₂于点M．
当Q（-6，8）时，则点M（2，4）．
当Q（-8，6）时，则点M（1，3）．
设直线OP₂的解析式为y=kx，则
2k=4，k=2．
∴y=2x．
解方程组

y=2x y=- 3 5 x+2 34

，得

x= 10 34 13 y= 20 34 13

．
∴P₂（

10 34

13

，

20 34

13

）；
当Q（-8，6）时，则点M（1，3），
同理可求P₃（

5 34

9

，

5 34

3

）；


如备用图4，由QP₄∥OF，QP₄=OF=10，
设点P₄的横坐标为x，则点Q的横坐标为（x-10），
∵y_Q=y_P，直线AB的函数解析式为：y=x+14，
∴x-10+14=-

3

5

x+2

34

，
解得：x=

5 34 -10

4

，可得y=

5 34 +6

4

，
∴点P₄（

5 34 -10

4

，

5 34 +6

4

），
当Q在BC边上时，如图5，

③当Q在BC边上时，如图5，OQ=OF=10，点P₅在E点，
∴P₅（0，2

34

），
综上所述，满足条件的P点坐标为（10，2

34

- 6）或（

10 34

13

，

20 34

13

）或（

5 34

9

，

5 34

3

）或（0，2

34

），（

5 34 -10

4

，

5 34 +6

4

）．