试题

（2013·长沙）如图，在平面坐标系中，直线y=-x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，动点P（a，b）在第一象限内，由点P向x轴，y轴所作的垂线PM，PN（垂足为M，N）分别与直线AB相交于点E，点F，当点P（a，b）运动时，矩形PMON的面积为定值2．
（1）求∠OAB的度数；
（2）求证：△AOF∽△BEO；
（3）当点E，F都在线段AB上时，由三条线段AE，EF，BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S₁，△OEF的面积为S₂．试探究：S₁+S₂是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵直线y=-x+2，∴当x=0时，y=2，B（0，2），
当y=0时，x=2，A（2，0）∴OA=OB=2．
∵∠AOB=90°
∴∠OAB=45°；

（2）∵四边形OMPN是矩形，
∴PM∥ON，NP∥OM，
∴

BE

OM

=

AB

OA

=

2

，

AF

ON

=

AB

OB

=

2

，
∴BE=

2

OM，AF=

2

ON，
∴BE·AF=

2

OM·

2

ON=2OM·ON．
∵矩形PMON的面积为2，
∴OM·ON=2
∴BE·AF=4．
∵OA=OB=2，
∴OA·OB=4，
∴BE·AF=OA·OB，
即

AF

OB

=

OA

BE

．
∵∠OAF=∠EBO=45°，
∴△AOF∽△BEO；

（3）∵四边形OMPN是矩形，∠OAF=∠EBO=45°，
∴△AME、△BNF、△PEF为等腰直角三角形．
∵E点的横坐标为a，E（a，2-a），
∴AM=EM=2-a，
∴AE²=2（2-a）²=2a²-8a+8．
∵F的纵坐标为b，F（2-b，b）
∴BN=FN=2-b，
∴BF²=2（2-b）²=2b²-8b+8．
∴PF=PE=a+b-2，
∴EF²=2（a+b-2）²=2a²+4ab+2b²-8a-8b+8．
∵ab=2，
∴EF²=2a²+2b²-8a-8b+16
∴EF²=AE²+BF²．
∴线段AE、EF、BF组成的三角形为直角三角形，且EF为斜边，则此三角形的外接圆的面积为
S₁=

π

4

EF²=

π

4

·2（a+b-2）²=

π

2

（a+b-2）²．
∵S_梯形OMPF=

1

2

（PF+ON）·PM，S_△PEF=

1

2

PF·PE，S_△OME=

1

2

OM·EM，
∴S₂=S_梯形OMPF-S_△PEF-S_△OME，
=

1

2

（PF+ON）·PM-

1

2

PF·PE-

1

2

OM·EM，
=

1

2

[PF（PM-PE）+OM（PM-EM）]，
=

1

2

（PF·EM+OM·PE），
=

1

2

PE（EM+OM），
=

1

2

（a+b-2）（2-a+a），
=a+b-2．
∴S₁+S₂=

π

2

（a+b-2）²+a+b-2．
设m=a+b-2，则S₁+S₂=

π

2

m²+m=

π

2

（m+

1

π

）²-

1

2π

，
∵面积不可能为负数，
∴当m＞-

1

π

时，S₁+S₂随m的增大而增大．
当m最小时，S₁+S₂最小．
∵m=a+b-2=a+

2

a

-2=（

a

-

2

a

）²+2

2

-2，
∴当

a

=

2

a

，即a=b=

2

时，m最小，最小值为2

2

-2
∴S₁+S₂的最小值=

π

2

（2

2

-2）²+2

2

-2，
=2（3-2

2

）π+2

2

-2．
解：（1）∵直线y=-x+2，∴当x=0时，y=2，B（0，2），
当y=0时，x=2，A（2，0）∴OA=OB=2．
∵∠AOB=90°
∴∠OAB=45°；

（2）∵四边形OMPN是矩形，
∴PM∥ON，NP∥OM，
∴

BE

OM

=

AB

OA

=

2

，

AF

ON

=

AB

OB

=

2

，
∴BE=

2

OM，AF=

2

ON，
∴BE·AF=

2

OM·

2

ON=2OM·ON．
∵矩形PMON的面积为2，
∴OM·ON=2
∴BE·AF=4．
∵OA=OB=2，
∴OA·OB=4，
∴BE·AF=OA·OB，
即

AF

OB

=

OA

BE

．
∵∠OAF=∠EBO=45°，
∴△AOF∽△BEO；

（3）∵四边形OMPN是矩形，∠OAF=∠EBO=45°，
∴△AME、△BNF、△PEF为等腰直角三角形．
∵E点的横坐标为a，E（a，2-a），
∴AM=EM=2-a，
∴AE²=2（2-a）²=2a²-8a+8．
∵F的纵坐标为b，F（2-b，b）
∴BN=FN=2-b，
∴BF²=2（2-b）²=2b²-8b+8．
∴PF=PE=a+b-2，
∴EF²=2（a+b-2）²=2a²+4ab+2b²-8a-8b+8．
∵ab=2，
∴EF²=2a²+2b²-8a-8b+16
∴EF²=AE²+BF²．
∴线段AE、EF、BF组成的三角形为直角三角形，且EF为斜边，则此三角形的外接圆的面积为
S₁=

π

4

EF²=

π

4

·2（a+b-2）²=

π

2

（a+b-2）²．
∵S_梯形OMPF=

1

2

（PF+ON）·PM，S_△PEF=

1

2

PF·PE，S_△OME=

1

2

OM·EM，
∴S₂=S_梯形OMPF-S_△PEF-S_△OME，
=

1

2

（PF+ON）·PM-

1

2

PF·PE-

1

2

OM·EM，
=

1

2

[PF（PM-PE）+OM（PM-EM）]，
=

1

2

（PF·EM+OM·PE），
=

1

2

PE（EM+OM），
=

1

2

（a+b-2）（2-a+a），
=a+b-2．
∴S₁+S₂=

π

2

（a+b-2）²+a+b-2．
设m=a+b-2，则S₁+S₂=

π

2

m²+m=

π

2

（m+

1

π

）²-

1

2π

，
∵面积不可能为负数，
∴当m＞-

1

π

时，S₁+S₂随m的增大而增大．
当m最小时，S₁+S₂最小．
∵m=a+b-2=a+

2

a

-2=（

a

-

2

a

）²+2

2

-2，
∴当

a

=

2

a

，即a=b=

2

时，m最小，最小值为2

2

-2
∴S₁+S₂的最小值=

π

2

（2

2

-2）²+2

2

-2，
=2（3-2

2

）π+2

2

-2．