试题

（2013·牡丹江）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=12，tan∠ACO=

3

3

，
（1）求B、C两点的坐标；
（2）把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处，DE与AC相交于点F，求直线DE的解析式；
（3）若点M在直线DE上，平面内是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）在直角△OAC中，tan∠ACO=

OA

OC

=

3

3

，
∴设OA=

3

x，则OC=3x，
根据勾股定理得：（3x）²+（

3

x）²=AC²，
即9x²+3x²=144，
解得：x=2

3

．
故C的坐标是：（6

3

，0），B的坐标是（6

3

，6）；

（2）直线AC的斜率是：-

6

6 3

=-

3

3

，
则直线DE的斜率是：

3

．
F是AC的中点，则F的坐标是（3

3

，3），设直线DE的解析式是y=

3

x+b，
则9+b=3，解得：b=-6，
则直线DE的解析式是：y=

3

x-6；

（3）OF=

1

2

AC=6，
∵直线DE的斜率是：

3

．
∴DE与x轴夹角是60°，
当FM是菱形的边时（如图1），ON∥FM，
则∠NOC=60°或120°．
当∠NOC=60°时，过N作NG⊥y轴，则NG=ON·sin30°=6×

1

2

=3，
OG=ON·cos30°=6×

3

2

=3

3

，则N的坐标是（3，3

3

）；
当∠NOC=120°时，与当∠NOC=60°时关于原点对称，则坐标是（-3，-3

3

）；
当OF是对角线时（如图2），MN关于OF对称．
∵F的坐标是（3

3

，3），
∴∠FOD=∠NOF=30°，
在直角△ONH中，OH=

1

2

OF=3，ON=

OH

cos∠NOH

=

3

3 2

=2

3

．
作NL⊥y轴于点L．
在直角△ONL中，∠NOL=30°，
则NL=

1

2

ON=

3

，
OL=ON·cos30°=2

3

×

3

2

=3．
故N的坐标是（

3

，3）．
当DE与y轴的交点时M，这个时候N在第四象限，
此时点的坐标为：（3

3

，-3）．
则N的坐标是：（3

3

，-3）或（3，3

3

）或（-3，-3

3

）或（

3

，3）．
解：（1）在直角△OAC中，tan∠ACO=

OA

OC

=

3

3

，
∴设OA=

3

x，则OC=3x，
根据勾股定理得：（3x）²+（

3

x）²=AC²，
即9x²+3x²=144，
解得：x=2

3

．
故C的坐标是：（6

3

，0），B的坐标是（6

3

，6）；

（2）直线AC的斜率是：-

6

6 3

=-

3

3

，
则直线DE的斜率是：

3

．
F是AC的中点，则F的坐标是（3

3

，3），设直线DE的解析式是y=

3

x+b，
则9+b=3，解得：b=-6，
则直线DE的解析式是：y=

3

x-6；

（3）OF=

1

2

AC=6，
∵直线DE的斜率是：

3

．
∴DE与x轴夹角是60°，
当FM是菱形的边时（如图1），ON∥FM，
则∠NOC=60°或120°．
当∠NOC=60°时，过N作NG⊥y轴，则NG=ON·sin30°=6×

1

2

=3，
OG=ON·cos30°=6×

3

2

=3

3

，则N的坐标是（3，3

3

）；
当∠NOC=120°时，与当∠NOC=60°时关于原点对称，则坐标是（-3，-3

3

）；
当OF是对角线时（如图2），MN关于OF对称．
∵F的坐标是（3

3

，3），
∴∠FOD=∠NOF=30°，
在直角△ONH中，OH=

1

2

OF=3，ON=

OH

cos∠NOH

=

3

3 2

=2

3

．
作NL⊥y轴于点L．
在直角△ONL中，∠NOL=30°，
则NL=

1

2

ON=

3

，
OL=ON·cos30°=2

3

×

3

2

=3．
故N的坐标是（

3

，3）．
当DE与y轴的交点时M，这个时候N在第四象限，
此时点的坐标为：（3

3

，-3）．
则N的坐标是：（3

3

，-3）或（3，3

3

）或（-3，-3

3

）或（

3

，3）．