试题

（2013·泉州）如图，直线y=-

3

x+2

3

分别与x、y轴交于点B、C，点A（-2，0），P是直线BC上的动点．
（1）求∠ABC的大小；
（2）求点P的坐标，使∠APO=30°；
（3）在坐标平面内，平移直线BC，试探索：当BC在不同位置时，使∠APO=30°的点P的个数是否保持不变？若不变，指出点P的个数有几个？若改变，指出点P的个数情况，并简要说明理由．

解：（1）在y=-

3

x+2

3

中，令x=0，得y=2

3

；
令y=0，得x=2，
∴C（0，2

3

），B（2，0），
∴OC=2

3

，OB=2．
tan∠ABC=

OC

OB

=

2 3

2

=

3

，
∴∠ABC=60°．

（2）如答图1所示，连接AC．

由（1）知∠ABC=60°，∴BC=2OB=4．
又∵AB=4，∴AB=BC，
∴△ABC为等边三角形，AB=BC=AC=4．
取AC中点Q，以点Q为圆心，2为半径长画圆，与直线BC交于点P₁，P₂．
∵QP₁=2，QO=2，∴点P₁与点C重合，且⊙Q经过点O．
∴P₁（0，2

3

）．
∵QA=QO，∠CAB=60°，∴△AOQ为等边三角形．
∴在⊙Q中，AO所对的圆心角∠OQA=60°，
由圆周角定理可知，AO所对的圆周角∠APO=30°，故点P₁、P₂符合条件．
∵QC=QP₂，∠ACB=60°，∴△P₂QC为等边三角形．∴P₂C=QP=2，∴点P₂为BC的中点．
∵B（2，0），C（0，2

3

），∴P₂（1，

3

）．
综上所述，符合条件的点P坐标为（0，2

3

），（1，

3

）．

（3）当BC在不同位置时，点P的个数会发生改变，使∠APO=30°的点P的个数情况有四种：0个、1个、2个、3个、4个．
如答图2所示，

以AO为弦，AO所对的圆心角等于60°的圆共有2个，记为⊙Q，⊙Q′，点Q，Q′关于x轴对称．
∵直线BC与⊙Q，⊙Q′的公共点P都满足∠APO=

1

2

∠AQO=

1

2

∠AQ′O=30°，
∴点P的个数情况如下：
①有1个：直线BC与⊙Q（或⊙Q′）相切；
②有2个：直线BC与⊙Q（或⊙Q′）相交；
③有3个：直线BC与⊙Q（或⊙Q′）相切，同时与⊙Q（或⊙Q′）相交；
直线BC过⊙Q与⊙Q′的一个交点，同时与两圆都相交；
④有4个：直线BC同时与两圆都相交，且不过两圆的交点．
⑤有0个，直线与两个圆都相离时就不存在点P了．
解：（1）在y=-

3

x+2

3

中，令x=0，得y=2

3

；
令y=0，得x=2，
∴C（0，2

3

），B（2，0），
∴OC=2

3

，OB=2．
tan∠ABC=

OC

OB

=

2 3

2

=

3

，
∴∠ABC=60°．

（2）如答图1所示，连接AC．

由（1）知∠ABC=60°，∴BC=2OB=4．
又∵AB=4，∴AB=BC，
∴△ABC为等边三角形，AB=BC=AC=4．
取AC中点Q，以点Q为圆心，2为半径长画圆，与直线BC交于点P₁，P₂．
∵QP₁=2，QO=2，∴点P₁与点C重合，且⊙Q经过点O．
∴P₁（0，2

3

）．
∵QA=QO，∠CAB=60°，∴△AOQ为等边三角形．
∴在⊙Q中，AO所对的圆心角∠OQA=60°，
由圆周角定理可知，AO所对的圆周角∠APO=30°，故点P₁、P₂符合条件．
∵QC=QP₂，∠ACB=60°，∴△P₂QC为等边三角形．∴P₂C=QP=2，∴点P₂为BC的中点．
∵B（2，0），C（0，2

3

），∴P₂（1，

3

）．
综上所述，符合条件的点P坐标为（0，2

3

），（1，

3

）．

（3）当BC在不同位置时，点P的个数会发生改变，使∠APO=30°的点P的个数情况有四种：0个、1个、2个、3个、4个．
如答图2所示，

以AO为弦，AO所对的圆心角等于60°的圆共有2个，记为⊙Q，⊙Q′，点Q，Q′关于x轴对称．
∵直线BC与⊙Q，⊙Q′的公共点P都满足∠APO=

1

2

∠AQO=

1

2

∠AQ′O=30°，
∴点P的个数情况如下：
①有1个：直线BC与⊙Q（或⊙Q′）相切；
②有2个：直线BC与⊙Q（或⊙Q′）相交；
③有3个：直线BC与⊙Q（或⊙Q′）相切，同时与⊙Q（或⊙Q′）相交；
直线BC过⊙Q与⊙Q′的一个交点，同时与两圆都相交；
④有4个：直线BC同时与两圆都相交，且不过两圆的交点．
⑤有0个，直线与两个圆都相离时就不存在点P了．